Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Развитие специальных итерационных методов для моделирования процесса изменения донной поверхности водоемов

Диссертация: Развитие специальных итерационных методов для моделирования процесса изменения донной поверхности водоемов
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Широкое применение математическое моделирование получило в экологии. Среди проблем экологии особое место занимают проблемы сохранения качества природных вод. На всякий водоем оказывают влияние условия формирования поверхностного или подземного водного стока, разнообразные природные явления, индустрия, промышленное и коммунальное строительство, транспорт, хозяйственная и бытовая деятельность… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов и обзор методов ее решения
    • 1. 1. Гидродинамическая модель
      • 1. 1. 1. Моделирование ветрового течения
      • 1. 1. 2. Модель свободной затопленной струи
    • 1. 2. Транспортная модель
      • 1. 2. 1. Перенос и оседания вещества
      • 1. 2. 2. Основные уравнения модели переноса взвешенного вещества
    • 1. 3. Обзор литературы по главе 1

Развитие специальных итерационных методов для моделирования процесса изменения донной поверхности водоемов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Математическое моделирование широко используется для понимания сущности и прогноза поведения многих физических процессов. В данной работе методы математического моделирования использованы для описания процессов заиления подходных судоходных каналов и переноса вещества во внутренних водоемах. I.

К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении гидрофизических задач для водоемов различной морфологии методами математического моделирования. Этот опыт отражен во многих работах отечественных научных коллективов, в частности, таких как ИММ РАН, ИВМ РАН, ИПМ РАН, ГОИН, ИВМ и МГ СО РАН. Очень важное значение для моделирования гидрофизических процессов в Азовском море представляют результаты натурных исследований гидрологии моря, полученные учеными ТТИ ЮФУ (рук. профессор А.И. Сухинов) и ЮНЦ РАН (рук. академик Г. Г. Матишов).

Наличие большого количества натурных данных позволяет более точно настраивать математические модели. Поэтому в настоящее время актуальным становится создание математических моделей, учитывающих многие факторы, влияющие на тот или иной процесс. [127, 130, 194, 227, 242]. В работах [3, 21,152,153] приведены данные по Азовскому морю.

Широкое применение математическое моделирование получило в экологии [28, 41, 81, 90, 97, 98, 106, 114, 109, 117, 135, 307]. Среди проблем экологии особое место занимают проблемы сохранения качества природных вод. На всякий водоем оказывают влияние условия формирования поверхностного или подземного водного стока, разнообразные природные явления, индустрия, промышленное и коммунальное строительство, транспорт, хозяйственная и бытовая деятельность человека. Становится актуальным моделирования происходящих в водоемах процессов распространения и оседания загрязнения [10, 26, 61, 157, 182, 239, 249, 253], изменение солености вод [4, 13, 137] и температурного водного режима [6, 92], моделирование колебаний уровня и циркуляции вод водоема [29, 52, 143, 150, 151, 185, 206]. Разработанные методы расчета течений позволили подойти к решению задачи переноса в морской среде загрязняющей примеси (динамически пассивной, химически нейтральной) от источников различного типа на основе гидродинамических циркуляционных моделей. В соответствии с проектом «Моря» под общим руководством ГОИНа подготовлена серия монографий Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Методика совместного использования математических моделей и дайных наблюдений для изучения и прогнозирования эволюции природных процессов в атмосфере, океане и окружающей среде представлена в работе [109, 110]. Для данного класса задач использованы вариационные принципы для построения дискретных моделей, методов прямого и обратного моделирования, а также теории чувствительности моделей к вариациям входных данных. Рассматриваются постановки задач и вариационные методы, как со строгими, так и со слабыми ограничениями. Модели записываются в вариационной форме с помощью интегральных тождеств. В работе [111] обсуждается проблема долгосрочного экологического прогнозирования с помощью математического моделирования с использованием доступной фактической информации о многолетней динамике климата. Здесь же приводится описание методики количественных оценок риска на основе прямого и обратного моделирования и методов теории чувствительности, а также рассмотрены примеры расчетов областей риска для озера Байкал.

Крупным вкладом в построение и применение высокоточных математических моделей задач водной экологии Азовского моря являются результаты, полученные учеными Южного федерального университета и Южного научного центра РАН [46, 72, 73, 74, 77, 75, 76, 131, 136,135, 136 154, 239]. Структуры течений Азовского моря, которые вначале были обнаружены численным экспериментом, были подтверждены экспериментально в результате экспедиций [98, 99, 101, 102, 134, 135]. Полученные результаты подчёркивают важность применения математических моделей для анализа и прогнозирования процессов, происходящих в экологических системах.

В настоящее время широкое развитие получило космическое землеведение — междисциплинарное научное направление, охватывающее географические, геологические, геохимические, геофизические и другие спутниковые исследования [60]. Это направление позволяет объединить исследования физиков, математиков, химиков, биологов, географов и многих других специалистов, изучающих природные объекты по их многоспектральным аэрокосмическим изображениям. В [59] приводится описание моделей климата, биосферы как наиболее традиционных средств получения информации о земной геофизической, биогеохимической и климатической системе. Дается математическая формулировка основных этапов моделирования процессов в атмосфере, гидросфере и биосфере.

Развитию теории вариационных краевых задач с неизвестными границами, созданию численно-аналитических методов исследования задач оптимизации формы в механике жидкости и газа, а также разработке методов оптимального аэродинамического проектирования гидропрофилей и крыловых профилей посвящена работа [44]. Приводятся методы решения задач оптимального проектирования формы в гидрогеологии, почвоведении и теории дисперсных сред, а также задач по определению оптимальных гидроаэродинамических форм и режимов обтекания. Решению обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) для плоских течений посвящена монография [43]. В ней изложены основные методы решения подобных задач, содержатся результаты по решению различных ОКЗА на основе классических гидродинамических моделей: идеальной несжимаемой жидкости, идеального газа и вязкой несжимаемой жидкости с большими числами Рейнольдса. В работе использованы математические модели течения идеальной жидкости, пограничного слоя и газа Чаплыгина.

В проекте 97−05−64 001 (рук. Н.Е. Вольцингер), выполненном в СПбФ ИО РАН, решена задача по моделированию трехмерной прибрежной динамики, процессов эрозии и седиментации осадочного материала при сильной нелинейности, выраженной бароклинности и резком изменении рельефа дна. Разработана и верифицирована модель придонного логарифмического пограничного слоя для описания процессов эрозии, седиментации и взаимодействия полей скорости, турбулентности и концентрации взвеси. Выполнено двумерное и трехмерное моделирование приливной динамики Баренцева и Ирландского морей, Восточно-Сибирского Арктического шельфа и прилегающей глубоководной зоны, Мессинского и Гибралтарского проливов.

В силу объективных причин — специфики режима морей, степени изученности, различного уровня теоретических разработок — в освещении некоторых вопросов по разным морям имеются существенные различия. Каждый водоем обладает своими уникальными свойствами, которые нельзя не учитывать, а созданные программные модули требуют большой перенастройки, что в ряде случаев соизмеримо объему работ по созданию новой модели. Несмотря на то, что проблемой математического моделирования переноса веществ во внутриматериковых морях и их заливах занимались многие известные специалисты, остается не решенной задача построения трехмерной математической модели морских заливов с судоходными каналами и, на ее основе, анализ трехмерных процессов распространения вещества и заиливания каналов.

В представляемой работе рассмотрены три основные проблемы моделирования распространения различных веществ в системе внутриматерико-вого водоема и судоходных каналов.

• Первая состоит в получении эффективных моделей, описывающих процессы переноса. Она включает в себя проблемы определения и моделирования различных аспектов переноса загрязняющих веществ, оседания и взмучивания взвесей, получение описания геометрии водоема.

• Следующая проблема заключается в развитии методов дискретизации исходных дифференциальных уравнений, сохраняющих основные физические свойства непрерывной модели.

• Третья проблема связана с развитием эффективных численных алгоритмов, позволяющих использовать возрастающие мощности современной компьютерной техники.

Для решения задач математической физики широко используются методы дискретизации исходных дифференциальных или интегральных уравнений, а также краевых и начальных условий. Эти методы позволяют преобразовать исходную непрерывную задачу в дискретную, т. е. перейти из бесконечномерного пространства в конечномерное, как правило, достаточно большой размерности. Далее, в этом конечномерном пространстве задачу преобразуют в систему линейных алгебраических уравнений, которую затем надо решить на ЭВМ [20, 107, 108]. Такая технология решения сложных научно-технических задач, описываемых системами интегро-дифференциальных уравнении, краевых и начальных условий была разработана в начале 60-тых годов академиком А. А. Самарским и была названа им вычислительным экспериментом [16, 17].

В данной работе особое внимание уделяется предпоследнему этапу технологии вычислительного эксперимента — решению системы линейных алгебраических уравнений. В соответствии с мировой статистикой 80% задач, решаемых на ЭВМ — это задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В работе рассматриваются итерационные методы решения этой задачи, т.к. речь идет о СЛАУ содержащих сотни тысяч неизвестных и уравнений, а прямые методы их решений при таком разI мере СЛАУ не эффективны. Несмотря на то, что теория итерационных методов в достаточной степени разработана для достаточно большого класса матриц, остаются проблемы по созданию новых эффективных итерационных методов решения СЛАУ для матриц, обладающих достаточно специфическими свойствами. Одним из таких классов матриц являются сильно несимметричные матрицы, которые получаются, например, при центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.

В связи с этим актуальность работы обусловлена потребностью в эффективных методах решения такого класса СЛАУ.

Построение автором «быстрых» итерационных методов решения сильно несимметричных систем основываются на включении в обращаемый оператор итерационного метода треугольной части лишь кососимметриче-ской составляющей исходной матрицы. Применение разработанных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, эффективность которых установлена численным сравнением с существующими подобными методами, также представляет элемент новизны.

Таким образом, работа посвящена разработке, теоретическому исследованию, численной и программной реализации комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов, в частности, прорытых по дну Таганрогского залива к портам Таганрог, Ейск, а также к основному руслу реки Дон. Моделирование связано с разработкой соответствующих математических моделей, описывающих процессы движения жидкости в судоходном канале, размывания, переноса и оседания взвешенного донного материала. Учет в модели струи от гребного винта, движущегося по каналу корабля, существенно усложняет численное решение задач, так как в этом случае процессы конвективно-диффузионного переноса становятся преобладающими. Это накладывает существенное ограничение на использование стандартных разностных схем и итерационных методов их решения. Таким образом, одной из целей работы стала разработка и дальнейшее развитие численных методов, эффективно решающих задачи с преобладающей конвекцией. Представляемая комплексная модель процесса заиления подходных судоходных каналов ранее никем не рассматривалась.

Математическая модель процессов переноса и распространения вещества в водной среде состоит из двух составляющих: модели гидродинамики рассматриваемого водоема и модели, описывающей конвективно-диффузионный перенос субстанции. Модель гидродинамики водоемов с наличием судоходного канала состоит, в свою очередь, из модели ветрового течения и модели распространения свободной затопленной струи.

Предполагается, что изменение донной поверхности водоемов происходит только за счет изменения активного слоя донных отложений, поэтому основной задачей является определение динамики изменения толщины указанного слоя. Это позволит определить районы, где происходит размывание дна и где происходит заиление.

Представленные в диссертации теоретические результаты имеют строгое математическое обоснование. Результаты вычислительных экспериментов хорошо согласуются с полученными теоретическими результатами, а также с результатами других авторов.

Рассмотренная в работе модель позволяет получать оперативную оценку текущего состояния донной поверхности водных объектов и делать прогноз его развития. Разработанные в диссертации итерационные методы могут быть использованы при решении задач с преобладающей конвекцией.

Полученные теоретические результаты исследований могут быть использованы в образовательных целях для студентов и аспирантов в виде специальных курсов по математическому моделированию и вычислительной математике.

Содержание работы.

Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность, новизна и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов. Важной особенностью предлагаемой модели является то, что гидродинамическая составляющая содержит не только модель ветрового течения, но также и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

В первом разделе рассматривается модель гидродинамики водоемов с наличием подходного судоходного прямолинейного канала, прорытого по дну водоема.

Гидродинамическая составляющая содержит две подмодели: модель ветрового течения и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

Модель ветрового течения основывается на разработанной ранее двухслойной модели [154], так как исследуемая область представляет собой водоем, где есть глубоководная часть и обширная область мелководья.

Модель струи, образованной вращением гребного винта корабля, основана на теории затопленной свободной струи. При движении вдоль канала винт корабля из-за эффекта скольжения выбрасывает свободную затопленную струю воды со скоростью Струя, попадая в массу окружающей ее жидкости, постепенно расширяется и, в конечном счете, рассеивается в жидкости. Для расчета осесимметричной струи вводится система цилиндрических координат. Расчетная область представляет собой прямоугольник.

Общее поле скоростей получается сложением векторов скоростей от каждой подмодели.

Во втором разделе перейос и оседание взвешенного вещества описывается уравнением конвекции-диффузии с граничными условиями 3-го рода, конвективная часть которого записана в симметричной форме. Предполагается, что все донные отложения состоят из к фракций.

Принято, что вертикальный погок примеси на свободной верхней границе водоема отсутствует.

Вертикальный поток примеси на дне (области взвешенных наносов) принимается равным разности расходов отрывающихся от дна частиц примеси Еък (размывания) и оседающих частиц Оьк (аккумуляции).

Во второй главе рассматриваются разностные аппроксимации составляющих общей модели, предлагаются методы решения уравнения конвекции-диффузии.

В первом разделе приводится конечно-разностная аппроксимация гидродинамической составляющих модели. Все уравнения движения аппроксимировались неявными противопотоковыми схемами.

Второй раздел посвящен построению разностной аппроксимации трехмерной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода.

Т.к. разностное решение. задачи конвекции-диффузии должно наследовать основные свойства поставленной дифференциальной задачи, рассмотрим три формы записи этого уравнения дt ^ дх, V дх,) дх! где у — параметр вида уравнения. Если / = 1, то конвективные слагаемые записаны в дивергентной (консервативной) форме. Если у = 0, то конвективные слагаемые записаны в недивергентной форме, а при у=½ в симметричной форме.

В дальнейшем предполагается, что поле скоростей известно в любой момент времени. Рассматривается несжимаемая среда (?//V У-0), то есть формы записи уравнения конвекции-диффузии эквивалентны.

Для сохранения свойств исходных дифференциальных операторов при пространственной аппроксимации уравнений конвекции-диффузии конвективная часть записана в симметричной форме и выбрана центрально-разностная схема, а при недивергентной записи конвективных членов — про-тивопотоковая схема.

Задача конвекции-диффузии замыкается начальными и краевыми условиями третьего рода на границе Г области. Предполагается, что граница области решения гладкая, а также что решение задачи 5, = 5'(х) также обладает достаточной гладкостью, включая границу области.

Расчетная область произвольной формы помещается в прямоугольный параллелепипед П и вводится равномерная по всем направлениям разностная сетка размера Л^хТУ хЛ^., с векторным параметром.

Ь = где кх, Ъу, к, — соответствующие шаги сетки вдоль осей.

ОХ, ОУ1. После проведения индексации ячеек определяется — множество внутренних узлов сетки и Гн — множество граничных узлов.

При аппроксимации граничных условий третьего рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем, когда выбор направления аппроксимации производной зависит от знака составляющей вектора скорости V, участвующей в граничном условии. Семиточечный шаблон, попадая в любой узел из внутренней подобласти, не выходит за пределы расчетной сеточной области. Если же шаблон попадает в узел из приграничной области, то хотя бы один из узлов шаблона оказывается на границе.

Аппроксимация задачи конвекции-диффузии проводится в два этапа. Сначала эта задача аппроксимируется в области С1к х С11 по пространственным переменным.

Исключив решение в граничных точках области, учитывая разностные краевые условия, можно перейти к неявной операторно-разностной схеме. л+1 /- г = «Л п>о Т.

Здесь Ьк — это оператор Ьк разностный аналог оператора конвекции-диффузии, в который уже включены граничные условия.

Оператор 1И представим в виде 1И = Ьт + Ьси + Ьрк, где Ьт — разностный оператор диффузионного переноса с учтенными граничными условиями, ЬСк — разностный оператор конвективного переноса, где также учтены граничные условия.

Любую матрицу, А е /Г'" можно единственным образом разложить, А — А Ахь на симметричную А0=— (а + А'} = А*0, и кососимметричную = -А{ составляющие. Матрица, А е Я" '" называется:

• диссипативной, если для /х Ф 0 ее симметричная часть положительно определена (А^х, х) > 0 (операторное неравенство А^> 0)-[280].

• М-матрицей, если, А — невырожденная, а^>0, а- < О при ] и обратная матрица А" 1 поэлементно неотрицательна;

• устойчивой, если ее спектр расположен в правой полуплоскости. При конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекциидиффузии, получается СЛАУ, матрица, которой имеет специальную семи-диагональную структуру. Когда конвективная часть записана в симметрич —с ной форме и выбрана центрально-разностная схема, то в операторе Ьь — Ьи симметричная часть |Ьь | = Ьанразностный аналог оператора диффузионного переноса, а кососимметрчная часть уЬь j = ¿-а, — разностный аналог конвективного переноса. Когда конвективная часть записана в недивергентной форме и выбрана противопотоковая аппроксимация, то диагональные —р элементы линейного оператора Ьн — Ьн положительны, а внедиагональные элементы отрицательны.

Получены достаточные условия:

7е диссипативности разностного аналога Ьи стационарной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода, записаной в симметричной форме, где конвективные члены аппроксимируются центральными разностями (Теорема 2.5);

М-матричности разностного аналога Ьрь стационарной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода, записаной в недивергентной форме, где конвективные члены аппроксимируются противопотоковыми разностями (Теорема 2.7).

В третьем разделе рассматриваются вопросы устойчивости разностной схемы задачи конвекции-диффузии при центрально-разностной и проти-вопотоковой аппроксимации конвективных членов.

Определение [118]. Разностная схема -= 0, 5(о) = 5° т называется устойчивой по начальным данным, если для решения этой задачи выполняется оценка м, где М, — положительная константа.

Следуя теории устойчивости по начальным данным, доказаны теоремы устойчивости для разностной схемы с весами л+1 п аЬзп+1 + (1 — СТ)18П = Г, 5 (0) = /.

7е при условии диссипативности разностного аналога Ьн стационарной задачи конвекции-диффузии (Теорема 2.8) — при условии М-матричности разностного аналога стационарной задачи конвекции-диффузии (ТЕОРЕМА 2.10).

В конце раздела приводятся оценки разностного решения по неявной схеме нестационарного уравнения конвекции-диффузии, использующие принцип максимума при выполнении условий М-матричности разностного оператора по пространству (Теорема 2.13, Теорема 2.14).

В третьей главе разработаны итерационные методы решения сильно несимметричных СЛАУ, к которым сводится решение задач с преобладающей конвекцией. Эффективность методов установлена численным сравнением с существующими итерационными методами.

Матрица, А называется сильно несимметричной, если в какой либо 1 норме.

Ах «А0, где, А 1 = АТ») — кососимметричная, а.

А 0= ^[А + Ат) — симметричная части матрицы А. Для определения числа кососимметрии используется максимальная строчная норма)! ||. Для исследования СЛАУ.

Аи=/ используется каноническая форма записи итерационных методов т где В — матрица итерационного метода, т — итерационный параметр, А — исходная матрица СЛАУ.

В первом разделе рассматриваются спектральный и энергетический подходы к исследованию сходимости итерационных методов для решения системы линейных алгебраических уравнений. В первом случае исследуется спектральный радиус рматрицы перехода/?© < 1 (критерий сходимости), а во втором — его энергетическая матричная норма < 1 (достаточное условие сходимости).

Во втором разделе разработаны двухпараметрические итерационные методы.

В (св)Хк+1'Хк +Ахк=/, к = 0,1,2,. т итерационный параметр со>0 входит только в матрицу метода В).

Матрица перехода двухпараметрического итерационного метода представлена в виде удобном для исследования.

7 (т, а) = (Е + 0,5а>Г)~1 (Е + (0,5& где Р — Е{со) = ^В[со)-0,5й)АуХ, А = Ы~ХА.

Теоретическое исследование сходимости двухпараметрических итерационных методов основанно на обобщении леммы Келлога на случай двух параметров в энергетическом (Лемма 3.3) и в спектральном (Лемма 3.4) подходах.

Решены задачи сходимости двухпараметрического итерационного метода при исследовании спектра (Теорема 3.8, Теорема 3.9) и при исследовании нормы (Теорема 3.13) матрицы перехода.

Рассмотрены вопросы нахождения оптимальных параметров в зависимости от свойств матрицы F = Г (¿-у) = (В (<у) — 0,5 со А} 1 А = А: (Теорема.

3.10, Теорема 3.11, Теорема 3.12) — для устойчивой и (Теорема 3.14, Теорема 3.15) — для диссипативной матрицы Т7.

В третьем разделе рассматриваются однопарметрические кососиммет-рические итерационные методы, разработанные в [65]. Основаная идея — включать в матрицу метода В итерационной схемы треугольные части Ки или KL лишь кососимметрической составляющей Ах = —^А — ATj = KL + Ки матрицы, А СЛАУ. Причем таким образом, чтобы кососимметричная составляющая матрицы метода была пропорциональна кососимметрической составляющей матрицы системы =тА}.

Далее исследован класс треугольных (ТКМ), попеременно-треугольных (ПТКМ) и двуциклических (ДТКМ) кососиметрических итерационных методов (Лемма 3.5, Теорема 3.16, Лемма 3.8, Теорема 3.17, Лемма 3.8 Теорема 3.18, Теорема 3.19).

Проведено численное исследование на двумерной модельной задаче. В замкнутой области = [0,1]х[0,1] рассматривалось стационарное уравнение конвекции-диффузии.

К классам краевых задач, где в результате аппроксимации могут возникнуть сильно несимметричные матрицы, относятся, в первую очередь, задачи в быстро движущихся средах или задачи, описывающие процессы на быстро движущихся объектах в несжимаемых или сжимаемых средах.

При проведении численного исследования было рассмотрено четыре варианта задания коэффициентов при конвективных членах. Все варианты кососимметричных методов сравнивались со стандартными вариантами таких известных и близких по структуре обращаемой матрицы методам, как SOR для ТКМ и SSOR для ПТКМ и ДТКМ. Преимущество разработанных кососимметричесих итерационных методов имеет место при сильной косо-симметрии, причем большой интерес при проведении численных тестов вызывает четвертая задача, так как для нее поле скоростей быстро меняется и получаемая матрица имеет более сложную структуру.

В третьем разделе разработанная теория исследования сходимости двухпараметрических итерационных методов применяется для исследования кососимметрических итерационных методов.

Практический интерес представляют СЛАУ с диссипативными матрицами, так как в этом случае удается получить устойчивую матрицу А.

Исследован класс двухпарметрических кососиметрических итерационных методов: треугольных (ТКМ) (Теорема 3.20, Лемма 3.9, Теорема 3.23), попеременно-треугольных (ПТКМ) (Теорема 3.26, Лемма 3.10, Теорема 3.27) и двуциклических (ДТКМ) (Теорема 3.28).

Рассмотрены вопросы нахождения оптимальных параметров (Теорема 3.21, Теорема 3.22).

Отметим, что наибольшую практическую значимость имеют беспараметрические итерационные методы (Теорема 3.24, Теорема 3.25).

Численное исследование этих методов было проведено на модельной задаче, описанной во втором разделе этой главы. Для численной реализации ПТКМ и ДТКМ был разработан программный комплекс, позволяющий строить график логарифма невязок, выводить число итераций и время счета. Особенный интерес представляет собой беспараметрический ПТКМ (2,2), где со = т = 2 с использованием диагонали {Откм} .

В четвертой главе представлены результаты численной реализации математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов. В качестве исследуемого объекта рассматривался прямолинейный канал трапециевидного поперечного сечения длиной 200 м, шириной 120 м, глубиной 7 м. Подобные каналы построены для подхода судов к портам Таганрогского залива — Таганрог, Ейск, Мариуполь, а также для подхода к реке Дон.

Предполагалось, что течение во всей расчетной области не меняется вдоль продольной оси канала, а также процесс размывания или оседания грунта вдоль оси происходит одинаково.

В первом разделе приводятся результаты расчетов течений в Таганрогском заливе при различных ветровых ситуациях.

Показано, что для подходного канала к порту Таганрог преобладают поперечные течения, а для канала к устью р. Дон — продольные. Расчеты показали, что корабль оказывает существенное влияние на картину течений в канале. Влияние струи, созданной гребным винтом корабля, на течение вблизи дна канала показано в виде смещение направления движения ветрового течения вдоль траектории движения корабля.

Второй раздел посвящен расчету изменения донной поверхности подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе.

Известно [149], что основная часть донного грунта в Таганрогском заливе имеет различный гранулометрический состав. При проведении вычислительных экспериментов было сделано условное разделение донного грунта на различные категории в зависимости от критических значений напряжения отрыва и оседания. При проведении вычислительных экспериментов рассматривалось как наличие, так и отсутствие свалки вдоль берега канала.

Заиление канала может происходить как за счет принесенияизвне взвешенных частиц размытого донного грунта, так и за счет обрушения, стенок свалки и канала. Процесс размывания начинается с разрушения верхнего уступа стенки канала, а затем перемещается вниз по стенке.

Численно установлено, что при продольном течении оседание взвеси происходит не так активно, как при поперечном или косом течении. Заиление канала уменьшается за счет вытеснения взвешенного донного материала к границе канала или вообще выноса его части из расчетной области. Кроме того, в канале образуется локальный фарватер за счет размывания дна струей от гребного винта. Здесь же показано, что изменение профиля дна канала оказывает влияние на картину течения.

Проведенные вычислительные эксперименты на построенной математической модели процесса заиления также отражают приведенные закономерности перемещения донного материала в акваториях судоходных каналов.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Развита теория специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, получены условия сходимости методов, найдены оптимальные итерационные параметры. Численно показана эффективность указанных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ по сравнению с классическими треугольными итерационными методами.

2. Построена и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов, учитывающая наличие движущегося корабля. Проведена серия вычислительных экспериментов, выявившая условия изменения донной поверхности.

3. Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала. Доказано, что при различных аппроксимациях уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3 рода получаются разностные операторы со специальными свойствами.

4. Проведены теоретические исследования составляющих частей указанной модели, получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, доктору физико-математических наук профессору Л. А. Крукиеру за ценные советы и замечания при подготовке и написании диссертации. Автор также признателен коллективу сотрудников ЮГИНФО ЮФУ за помощь при численной реализации созданных программ.

4.3. Основные выводы по Главе 4.

В главе представлены результаты численной реализации математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов.

Показано, что для подходного канала к порту Таганрог преобладают поперечные течения, а для канала к устью р. Дон — продольные.

Расчеты показали, что корабль оказывает существенное влияние на картину течений в канале. Струя от гребного винта вызывает смещение направления движения ветрового течения вдоль траектории движения корабля.

При проведении вычислительных экспериментов было сделано условное разделение донного грунта на различные категории в зависимости от критических значений напряжения отрыва и оседания, кроме того при проведении вычислительных экспериментов рассматривалось как наличие, так и отсутствие свалки вдоль берега канала.

Численно установлено, что заиление канала может происходить как за счет принесения извне взвешенных частиц размытого донного грунта, так и за счет обрушения стенок свалки и канала. Процесс размывания начинается с разрушения верхнего уступа стенки канала, а затем перемещается вниз по i стенке. При продольном течении оседание взвеси происходит не так активно, как при поперечном и косом.

Действие струи от гребного винта корабля существенно меняет картину донной поверхности канала. Заиление канала уменьшается за счет вытеснения взвешенного донного материала к границе канала или вообще выноса его части из расчетной области. Кроме того, в канале образуется локальный фарватер за счет размывания дна струей от гребного винта.

Проведенный вычислительный эксперимент в течение 120 суток модельного времени после начала действия ветрового течения и струи от гребного винта корабля показал, что свалка грунта к этому времени почти вся размывается, и размытый донный материал оседает на дне канала.

Заключение

.

Разработана и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов. Данная модель включает в себя модель ветрового течения, модель свободной затопленной струи, модель переноса взвешенного вещества вследствие размывания донного материала и модель перемещения донного ила.

С помощью построенной модели установлено, что на процесс заиления судоходных каналов существенное влияние оказывают факторы наличия свалки донного грунта на берегу канала, а также степень судоходности самого канала. При расчете среднегодовой величины осевшего в канале донного осадка принимались во внимание скорость и направление течения воды, продолжительность этого течения, а также степень судоходности канала. Перечисленные факторы учитывались через весовые коэффициенты для каждого из рассмотренных каналов. Сравнение полученных результатов с результатами наблюдений позволяет утверждать, что представленная математическая модель заиления судоходных каналов достаточно адекватно описывает указанный процесс.

Для решения поставленной задачи были предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели, а также разработаны новые итерационные методы, позволяющие эффективно решать системы линейных алгебраических уравнений с кососим-метричной матрицей.

В результате проведенных теоретических исследований были получены условия устойчивости для уравненияпереноса с краевыми условиями 3 рода, а также необходимые и достаточные условие сходимости специального класса итерационных методов, позволяющих решать рассмотренные задачи.

Наиболее существенные результаты, полученные автором:

1. Развита теория специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, получены условия сходимости методов, найдены оптимальные итерационные параметры. Численно показана эффективность указанных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ по сравнению с классическими треугольными итерационными методами.

2. Построена и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов, учитывающая наличие движущегося корабля. Проведена серия вычислительных экспериментов, выявившая условия изменения донной поверхности.

3. Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала. Доказано, что при различных аппроксимациях уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3 рода получаются разностные операторы со специальными свойствами.

4. Проведены теоретические исследования составляющих частей указанной модели, получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Показать весь текст

Список литературы

  1. И.В., Антонов А. Н., Антонов М. А., Четверушкин Б. Н. Использование кинетически-согласованных разностных схем для описания струйных течений // Математическое моделирование, 2000, т. 12, № 1. С.25−37.
  2. Г. Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1960, 515 с.
  3. Азовское море. Справочное издание. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991. Т.5. 238 с.
  4. Э.Р. Расчет солености Азовского моря. Тр. ГОИН., 1975, вып. 125.
  5. . A.A., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. Пособие. -М: Высш. Шк., 1994.-544 с.
  6. Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М: Мир, 1990, 384 с.
  7. Н.В., Космачевский К. В., Черниговский C.B. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газовой динамики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987
  8. A.A., Васильев О. Ф., Воеводин А. Ф., Шургин С. М. Численные методы решения одномерных одномерных задач гидродинамики. // Водные ресурсы., 1983, № 4, С. 38−47
  9. Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры— М.: Наука, 1983
  10. И.В., Беспалов М. С., Клочкова JI.B., Кулешов A.A., Сузан Д. В., Тишкин В. Ф. Транспортная модель распространения газообразных примесей в атмосфере города //Математическое моделирование, М., т. 12, № 11, 2000, с.38−46.
  11. В.М., Генова С. Н. Вычислительный алгоритм для определения динамики взвешенных и донных наносов в речном русле // Вычислительные технологии, Т.9, № 2, 2004, с.9−25.
  12. О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984, 520 с.
  13. A.JI. Течения Каспийского моря и формирование поля солености Северного Каспия // РАН, Ин-т водных проблем. М.: Наука, 1993
  14. М.Б. Об устойчивости несамосопряженных разностных схем с М-матрицами для эволюционных краевых задач с эллиптическими операторами по пространству. // Известия Вузов. Математика, 1995, № 9 (400), с. 15−22
  15. Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989.
  16. П.Н. Численное моделирование М. Изд. МГУ, 1993
  17. П.Н. Итерационные методы решения задач конвекции-диффузии.// Труды Международной летней школы молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления». Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2002, стр. 328−367.
  18. П.Н. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции/диффузии. М.: Инст. Математ. Моделир. РАН, 1994, № 3, 21 с.
  19. П.Н. Разностные схемы с центральными разностями для задач конвекции-диффузии. М.: Инст. Математ. Моделир. РАН, 1993, № 17, 16 с.
  20. Васильев А. С Гидродинамическая модель Черного и Азовского морей. Труды ГОИН, вып.207, 1999, с.28
  21. Владимиров.!*.С., Жаринов В. В. Уравнение математической физики. М: Наука, 2000
  22. В.В., Кузнецов В. А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984
  23. Э.А. Обобщение исследований по определению коэффициентов продольной дисперсии и диффузии. // Водоотведение и охрана вод.- Минск.: Наука и техника, 1982, с.33−42
  24. Н.Е., Пясковский Р. В., Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. Л.: Гидрометеоиздат, 1977
  25. Д., Хоббс Дж.Л. Распространение загрязнения в эстуарии. — В кн. Математические модели контроля загрязнения воды, под ред. Джеймса А., М.: Мир, 1981, с. 229 243
  26. Ф.Р. Теория матриц, М: Наука, 1966
  27. В.Б. Идентификация и верификация моделей водных экосистем. //Проблемы сохранения, защиты и улучшения качества природных вод. Сб. ст.-М.: Наука, 1982.
  28. В. Х. Левиков С.П. Вероятностный анализ и моделирование колебаний уровня моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 288 с.
  29. Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат, 1970
  30. Гидрометеорологический справочник Азовского моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1962
  31. А.Д. Уравнение диффузии с конечной скоростью в двух- и трехмерном пространствах. //Извести АН СССР. 1973, т. 9, № 1, с. 92 -93.
  32. С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1977
  33. С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1973
  34. Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, Москва: Мир, 1999
  35. K.B. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометеоиздат, 1979.211 с.
  36. A.B. Теоремы об устойчивости несамосопряженных разностных схем.// Мат. сборник, 1979, т. 110 (152), № 2, с. 297−303.
  37. A.B. Устойчивость разностных схем и операторные неравенства. // Дифф. уравнения, 1979, т. 15, № 12, с. 2238 2250.
  38. Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, М: Мир, 2001
  39. К.Г., Просянник А. Г. Симметрия уравнений Рейнольд-са и полуэмпирические теории турбулентной затопленной струи //Моделирование систем, 2004, № 1(7). С.37−43.
  40. Н.И., Шишкин А. И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. Л., Гидрометеоиздат, 1989
  41. Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений //ДАН СССН 1962, т. 144, № 1, с. 29 — 32
  42. A.M., Ильинский Н. Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Физматлит ВО «Наука», 1994. — 436 с.
  43. A.M. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике : Монография / А. М. Елизаров, А. Р. Касимов, Д. В. Маклаков. М.: Физматлит, 2008. — 478 с.
  44. А.Ю., Капорин И. Е. Реализация явных чебышевских методов при решении задач большой размерности. в кн. Многопроцессорные вычислительные структуры, Таганрог, ТРТИ, 1985, вып.7, стр. 43−46
  45. Ю.А., Ворович И. И., Горстко А. Б., и др. Имитационная модель экосистемы Азовского моря. Разработка и использование // Известия СКНЦВШ. Естественные науки, 1981, № 2, С.7−13.
  46. В.Т., Новикова Н. Д., Страховская Л. Г., Федорченко Р. П., Фео-доритова О.Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии.// Препринт ИПМ РАН № 8, Москва, 2001 г. 11 стр.
  47. .С., Косарев А. Н. Моря. М., Мысль. 1999
  48. Л.А. Биология морей СССР. М., АН СССР. 1963
  49. В.А. Гидрологические процессы и их роль в формировании качества воды. Л., Гидрометеоиздат, 1981
  50. В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 345 с.
  51. Ю.И. Колебания уровня Белого моря. Екатеринбург, УрО РАН. 2003, С. 150.
  52. А.Т. Осолонение Эстуариев // В сборнике Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат., 1970, с. 326−356.
  53. Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М: Наука, 1984.-752 с.
  54. A.B. Методические основы оценки и регламентирования антропогенного влияния на качество поверхностных вод. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 285 с.
  55. A.B. Модель и численное решение задачи о диффузии в водоеме. Матер. 6 Всесоюз. симпоз. по современным проблемам самоочищения водоемов и регулирования качества воды. 4.1, Талин, ТПИ, 1979, с. 45−47.
  56. A.B. Речная гидравлика. Л., Гидрометеоиздат, 1969
  57. Л.В., Сузан Д. В., Тишкин В. Ф. Метод численного расчета конвекции в транспортно-диффузионной модели.// Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 2001 г, стр. 217−131
  58. B.B. Описание моделей климата/биосферы. В кн. «Космическое землеведение: информационно-математические основы /Под ред. акал. РАН В. А. Садовничего.-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. С. 133−212.
  59. В.В., Садовничий В. А., Ушакова JI.A., Ушаков С. А. Космическое землеведение: диалог природы и общества. Устойчивое развитие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000.-640 с.
  60. A.B., Повещенко Ю. А., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. М: Наука, 2000.
  61. JI. Функциональный анализ и вычислительная математика, М: Мир, 1969
  62. Ю.А., Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвекции-диффузии.// Математическое моделирование, 1995, т. 7, № И, стр. 95 108
  63. Л.А., Бочев М. А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.// ЖВМ и МФ, т. 37, № 11, 1997, стр. 1283−1293
  64. Л.А. Достаточное условие сходимости треугольного итерационного метода с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. СКНЦ ВШ. Ест. Науки, 1989, № 4, стр. 52−54
  65. Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.// Изв. ВУЗов. Математика, 1997, № 4, стр.77−85.
  66. Л. А. Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации.// ЖВМиМФ, т. 39, № 11, 1999, стр. 1821−1827
  67. Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. ВУЗов. Математика, 1979, № 7, стр. 41−52
  68. Л.А. Об одном достаточном условии сходимости итерационных методов с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. ВУЗов. Математика, 1981, № 9, стр. 75−76
  69. Л.А. О некоторых способах построения оператора В в неявных двухслойных итерационных схемах, обеспечивающего их сходимость в случае диссипативного оператора А.// Изв. ВУЗов. Математика, 1983, № 5, стр. 41−47
  70. Крукиер Л. А, Чикина Л. Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Изв. ВУЗов, Матем., 2000. № 11.- с.62−76.
  71. Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы// Математическое моделирование, 1991, т. 3, № 9, с. 3 20.
  72. Л.А., Муратова Г. В., Сурков Ф. А. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского зали-ва//Морской гидрофизический журнал, 1989, № 6, Х1-ХИ, с.55−62.
  73. Л.А., Муратова Г. В., Никитенко О. Б., Чикин А. Л. Модель термического режима водоема. В кн. Экосистемные исследования Азовского моря и побережья. Отв. ред. Матишов Г. Г. Издательство КНЦ РАН, Апатиты, 2002. С.139−150.
  74. JI.A., Муратова Г. В., Чикин А. Л. ППП POLLUTION для расчета распространения загрязнения в мелких водо-емах//Вычислительные технологии, т.2, № 6, Новосибирск, 1993, Институт вычислит, технологий СО РАН, с. 133−146.
  75. Л.А., Чикина Л. Г. Двуциклический треугольный кососим-метрический итерационный метод решения сильно несимметричных систем.// Известия высших учебных заведений. Математика, № 5, 2001, стр. 36−42
  76. Л.А., Чикина Л. Г. Некоторые вопросы использования проти-вопотоковых разностных схем при инженерных расчетах загрязнения в мелких водоемах. Инженерно-физический журнал. Т. 71, № 2, 1998, с. 349 352.
  77. В.И. Южные моря (Аральское, Каспийское, Азовское и Черное) в условиях антропогенного стресса // С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1994.
  78. B.C. Процесс перемещения и отложения илистых наносов и его значение для заносимости морских каналов // Изв. АН СССР, сер. географ., 1956. № 1. С. 56 73.
  79. Р., Фридрихе К. Ю., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики //Успехи математических наук. 1940. — т. VIII, № 125.-е. 125- 160.
  80. O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // Успехи матем. наук, 1957, т. XII, № 5, с. 123−148.
  81. A.B., Застенкер H.H., Трубников Д. Н. Аналитические оценки параметров свободной струи одноатомного газа, истекающей в вакуум.// Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 2. Химия. 2003, Т. 44, № 4. С. 238−242.
  82. Л.Д., Лифшиц.Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988
  83. В. И. Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе.// ЖВМ и МФ, 1971, т. И, № 2
  84. Л.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1970.
  85. М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. М.: Наука, 1972.
  86. Г. И. Математическое моделирование в проблеме ркружаю-щей среды. М: Наука, 1982.
  87. Г. И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1989
  88. Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974
  89. Г. И., Дымников В. П., Залесный В.Б, Лысоков В. Н., Галин В. Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984
  90. Г. И., Дымников В. П., Залессный В. Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации — Л., Гидрометеоиздат, 1987, 296 с.
  91. Г. И., Каган Б. А. Океанские приливы (математические модели и численные эксперименты). Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 296 с.
  92. Г. И., Саркисян Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988
  93. Математические модели контроля загрязнения воды // под ред. Джеймса А., М. М.: Мир, 1981
  94. Г. Г., Гаргопа Ю. М., Бердников С. В., Дженюк С. Л. Закономерности экосистемНых процессов в Азовском море. Южн. Научн. Центр РАН.-М.: Наука, 2006
  95. Г. Г. Сейсмопрофилирование и картирование новейших отложений дна Азовского моря//Вестник южного научного центра РАН, Т. 3, № 3, 2007, с.32−40.
  96. Г. Г., Польшин В.В.,. Ильин Г. В., Новенко Е. Ю., А. Карагеоргис. Закономерности литохимии и палинологии современных донных отложений Азовского моря. Вестник ЮНЦ РАН. Ростов н/Д: Изд-во ЮНЦ РАН, 2006.
  97. Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. Москва: Мир, 1991
  98. Ортега Джеймс и Рейнболдт Вернер. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Москва: Мир, 1975.
  99. А.Н. Актуальные проблемы мореведения. М., Русский университет. 2002
  100. В.М., Полежаев В. И., Чудов JI.A. Численное моделирование решения задач тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984, 288 с.
  101. Пейре Роже, Тейлор Томас Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986, 352 с.
  102. В.В., Алоян А. Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. -Новосибирск: Наука, 1985
  103. В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. JL: Гидрометеоиздат, 1981. 352 с.
  104. В.В., Цветова Е. А. Математические модели для изучения рисков загрязнения природной среды // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 2, с. 136−146.
  105. А. Г., Петров. Ц. Г. Вектор расхода наносов в турбулентном потоке над размываемым дном.//Прикладная механика и техническая физика. 2000 г. Т. 41, № 2. с. 102−112
  106. В.В. Распределение современных донных отложений в открытой части Азовского моря. // Экосистемные исследования Азовского, Черного, Каспийского морей. Том VIII. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2006. С. 42−49.
  107. Рациональное использование водных ресурсов бассейна Азовского моря: Математические модели. Под ред. И. И. Воровича. М.: Наука, 1981
  108. Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.-М.: Мир, 1972
  109. П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980
  110. Е.А., Сузан’Д.В., Тишкин В. Ф. Построение математической модели распространения загрязнения в атмосфере.// Математическое моделирование, 1997, Т. 9, № 11, стр. 59−71
  111. A.A. Введение в теорию разностных схем, М: Наука, 1971
  112. A.A. Введение в численные методы. М: Наука, 1987
  113. A.A. Методы решения сеточных уравнений М: Наука, 1978
  114. A.A. Некоторые вопросы теории разностных схем //ЖВМиМФ, 1966, т. 6, № 4, с. 665 682.
  115. A.A. Теория разностных схем М: Наука, 1989
  116. A.A., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Изд. УРСС, Москва, 1998
  117. A.A., Вабищевич П. Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями, Минск, 1998
  118. A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
  119. A.A., Гулин A.B. Численные методы. М: Наука, 1989
  120. A.A., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М: Наука, Физматлит, 1997.
  121. A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978
  122. А.И. Двухслойная модель динамики и качества вод сильно стратифицированного водоема. М.: ВЦ АН СССР, 1982
  123. Современные проблемы математического моделирования /отв. ред. О. М. Белоцерковский, В.А. Гущин- Ин-т автоматизации проектирования. -М.: Наука, 2005.
  124. А.И., Алексеенко Е. В. Сравнительный анализ математических моделей турбулентного обмена в задачах морской гидродинамики на примере Азовского моря и лагуны Этан Де Бер. // Известия ЮФУ. Технические науки № 10, 2008
  125. A.A. Сухинов, Реконструкция экологической катастрофы в Азовском море на основе математических моделей. Математическое моделирование, 20:6 (2008), стр. 15−22.
  126. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научно-исследовательского судна «Акванавт». // Океанология, 2003, т. 43, № 1, с.44−53.
  127. А.И., Васильев B.C. Прецизионные математические модели мелких водоемов// Математическое моделирование, 2003, № 10, С. 1734
  128. А.И., Сурков Ф. А., Белоконь A.B., Наседкин A.B. Реализация проектов геоэкологической направленности на корпоративной кафедре математического моделирования и прикладной математики РГУ, ТРТУ и ЮРГТУ. Издательство СКНЦ ВШ, Ростов-на-Дону, 2005.
  129. Р.Э. Моделирование динамики и структуры вод Балтийского моря. Рига: «Звайгзне», 1979
  130. Е.Е. Краткий курс численного анализа, Москва: ВИНИТИ, 1994
  131. А.Н., Самарский. A.A. Уравнение математической физики, М.: Изд-во МГУ, 1999
  132. О.В. Об одном классе течений вязкой жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2003, т. 9, № 2. С. 129−136.
  133. Д.К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Спб: Лань, 2002, 736 стр.
  134. Ю.Г. Об одном способе расчета морских течений //Тр. ГО-ИН. 1970. Вып. 103. С.87−94.
  135. A.B. «Моделирование многолетних колебаний уровня Каспийского моря: теория и приложения». Москва, ГЕОС, 2003
  136. И.В. Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности для решения многомерного уравнения параболического типа //Журн. выч. математики и матем. физики— 1969, т. 9, № 6, с. 1316- 1326.
  137. Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990
  138. И.Ш. Моделирование и расчет размыва дна вокруг вертикального цилиндра большого диаметра под воздействием волн//Водные ресурсы, 2007, Е. 34, в № 1, с.56−67.
  139. JI. Янг Д. Прикладные итерационные методы, Москва: Мир, 1986
  140. Р. Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989
  141. Ю.П., Ивлиева О. В. Проблемы антропогенной морской се-диментологии (на примере Азовского моря). Ростов-на-Дону: Изд. «Гефест», 1999, 196 с.
  142. Е. А. Математическое моделирование циркуляций вод озера // Течения в Байкале. Новосибирск: Наука, 1977. — С. 63−81.
  143. Е. А. Нестационарные ветровые течения в озере Байкал //Численные методы расчета океанических течений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. — С. 115−128.
  144. Черное море. Справочное издание. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Том IV. Вып.1. Гидрометеорологические условия. // С-Пб: Гидрометеоиздат, 1991, 430 е.
  145. Черное море. Справочное издание. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Том IV. Вып. 2. Гидрохимические условия и океанологические основы формирования биологической продуктивности. // С-Пб: Гидрометеоиздат, 1992, 220 с.
  146. А.Л. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах с большой неоднородностью глубин// Водные ресурсы, 2005. Т. 32. № 1.С. 55−60.
  147. Л.Г. Двухпараметрические итерационные методы. // Вычислительные технологии. Том 11, № 4, 2006. с.87−101.
  148. Чикина Л. Г, Чикин А. Л. Моделирование распространения загрязнения в Мобилском заливе (США). // Математическое моделирование. -2001. Т.З. — № 2. — С.93−98.
  149. Л.Г. Двуциклические треугольные кососимметрические итерационные методы решения сильно несимметричных систем. // Тез. докл. на школе-семинаре молодых ученых. Абрау-Дюрсо, 1997. С.155−159
  150. JT.Г. Кососимметричные итерационные методы решения СЛАУ с оператором метода Е + тКн. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. 2000, Т.7, Выпуск 2, С 443 444.
  151. Л.Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 2, стр. 20−25.
  152. Л.Г. Трехмерная математическая модель переноса вещества в Мобилском заливе. //Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, № 3, 2006, с.52−57.
  153. Л.Г., Шабас И. Н., Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода. // Вычислительные технологии, т. 10, № 6, 2005
  154. Л.Г., Крукиер Б. Л. Двухпараметрический двуциклический итерационный метод решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. // Вычислительные технологии. Том 9, № 5, 2004. -с.102−113.
  155. P.P. Гидравлика: Учебник для вузов. Л.: Энергоиздат, 1982. 672 с.
  156. Э.В. Моделирование стационарного течения объемной осесимметричной свободной затопленной струи вязкой жидкости. // Фундаментальные исследования, № 10, 2006. С.68−69.
  157. П.Б. Заносимость Ейского канала // Тр. АзЧерморпути. 1957. 129 с.
  158. А.И. Основы математического моделирования конвективно-диффузионного переноса примесей. Л., ЛТИ ЦПБ, 1976
  159. Г. И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами в случае смешанных краевых условий.//Дифференциальные уравнения, 1996, 32 (5), 689−701.
  160. Ю.И., Чубаров Л. Б., Марчук А. Г., Симонов К. В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука, 1989.1
  161. Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.
  162. Alan С. Avoiding BDF stability barriers in the MOL solution of advection-dominated problems.// Appl. Numer. Math.-1995−17, N 3- c.311−318.
  163. Alefed G., Varga R.S. Zur konvergenz des symmetrischen relaxation sver-fahrens, Numer. Math., vol 25, p.291−295
  164. Andreas Frommer and Daniel B. Szyld, H-splittings and two-stage iterative metods, Numer. Math., 63, pp.345−356, 1992
  165. Axelsson O. A generalized SSOR method.// BIT, 1972, 12, p. 443−467
  166. Axelsson, 0. On Preconditioning and Convergence Acceleration in Sparse Matrix Problems, CERN Technical Report 74−10, Data Handling Division, Geneva. 1974
  167. Axelsson O. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994
  168. Axelsson O., Vasilevski P. S. A black box generalized conjugate gradient solver with inner iterations and variable-step preconditioning.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1991, № 12, p.625−644
  169. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijk-hout V., Pozo R., Romine C., and Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. SIAM, Philadelphia, PA, 1994
  170. Bai Z.Z., Golub G., Ng M. Hermitian and Skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive definite systems, SIAM J. Matrix Anal.Appl., 24, 2003, pp.603−626
  171. Blumberg, A.F., Mellor, G.L. A Description of a three-dimensional coastal ocean circulation model. In: Heaps, N.S. (Ed.), Three-Dimensional Coastal Ocean Models, American Geophysical Union, Washington, 1987, DC, pp. 1−16.
  172. Bottom M. A variant of the ADI method for two-phase flow calculations //Computers Fluids 1994.- V. 23, N 2. — P. 305 — 321.
  173. Buleev N.I. A numerical method for solution of two-dimensional and three -dimensional equations of diffusion.//Math. Sb., 1960, № 51, p. 227−238
  174. Gene H. Golub- Dianne P. O’Leary SIAM Review, Vol. 31, No. 1. (Mar., 1989), pp. 50−102.
  175. Cesari L. wrote the paper Sulla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari per approssimazioni successive (La Ricerca Scientica, 8, 1937, pp. 512 522
  176. Chan T.F., Galloloulos E., Simoncini V., Szeto T., Tong C.H. A quasiminimal residual variant of the BiCGSTAB algorithm for nonsymmetric systems.// SIAM J. Sei. Statist. Comput., 1994, № 15, p. 338−347
  177. Chow L.C., Tien C.L. An examination of four differencing shemes for some elleptic-type convection equations // Numer. Heat Trasfer., 1978. -V.l.-P. 87−100.
  178. Chikina L.G., Krukier B.L. Solution of linear equation systems with dominant skew-symmetric part using the product triangular iterative method. Computational methods in applied mathematics. V.3 (2003), N. 4.p. 647 650.
  179. Cross M., Moscardini A.O. Learning the Art of Mathematical Modelling.— N.Y.: Wiley, 1985.
  180. D’Sylva E., Miles G.A. The SSOR iteration scheme for equations with cr-orderings.//Computer J., 1963, № 6, p.271−273
  181. DeLong M. SOR as preconditioner, Doctor of Philosophy (Computer Science) Dissertation, University of Virginia, 1997
  182. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. SLAM, Philadelphia, 1997
  183. Dey S., Sarkara A. Computation of Reynolds and boundary shear stress in submerged jets on rough boundaries // Journal of Hydro-environment Research, Volume 1, Issue 2, 4 December 2007, P. 110−117
  184. Dongarra Jack., J. Duff Iain., S. Sorensen Danny C., Van der Vorst H. Numerical Linear Algebra for high-performance computers. SLAM, Philadelphia, 1998
  185. Douglas J., Rachford H., On the numerical solution of heat conductiob problems in two and three space variable. // Trans. Amer. Math. Soc., 1956,82,2
  186. S.K. & ets. Numerical modeling of storm surges in the Arabian Sea///Appl. Math. Model, 1985, v.9,4, pp. 289−294.
  187. Ehrilich L.W. The block symmetric successive overrelaxation method.//J. Soc. Indust. Appl. Math. 12, 1964, 807−826
  188. , D. J. (1968) «The Use of Pre-conditioning in Iterative Methods for Solving Linear Equations with Symmetric Positive Definite Matrices,» J. Inst. Maths. Applies. 4, pp. 295−314.
  189. Elman H.C. A stability analysis of incomplete LU factorization.// Math. Comp., 1986, № 47, p. 191−217
  190. Elman H.C. Relaxed and stabilized incomplete factorizations for nonselfad-joint linear systems, BIT, 29(4), 1989, p.890−915
  191. Flather R.A., Heaps N.S. Tidal computations for Morecable bay. Geophys. J. of the Royal Ast. Sol., 1975, v. 42, 2, pp. 489−517.
  192. Frankel S.P. Convergence Rates of Iterative Treatments of Partial Differential Equations. Math. Tables Aids Comput., 4: 65−75, 1950
  193. Golub G.H., Van der Vorst H. A. Closer to the solution: Iterative linear solvers.// in I.S. Duff and G.A.Watson (eds), The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997, p. 63−92
  194. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part I, Numer. Math., 1961, V.3, p. 147−156
  195. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part II, Numer. Math., 1961, V.3, p. 157−166
  196. Golub Gene, Van Loan Ch. Matrix Computations, Oxford, North Oxford Academic Publishing, 1983
  197. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia, PA, 1997
  198. Gresho P.M., Lee R.L. Don’t suppress the wiggles they’re telling you something! // Computers Fluids — 1981.- V. 9-P. 223−253.
  199. Grote M., Huckle T. Parallel preconditioning with sparse approximate inverses.// SIAM J. Sei. Comput., 1997, № 18, p. 838−853
  200. Hackbush W. Iterative solution of large sparse systems of equations Berlin: Springer-Verlag, — 1994.-429 p.
  201. Hadjidimos A. A survey of the iterative methods for the solution of linear systems by extrapolation, relaxation and other techniques.// J. Comput. Appl. Maths., 1987, № 20, p. 37−51
  202. Hadjidimos A. Accelerated Overrelaxation method.// Math. Comp., 1978, № 32, p. 149−157
  203. Hadjidimos A., Psirmani A., Yeyios A.K. On the convergence of the modified accelerated overrelaxation method (MAOR).// Applied Numerical Math., 1992, № 10, p. 115−127
  204. Hadjidimos A., Yeyios A. On Some Extensions of the Accelerated Overrelaxation (FOR) Theory. // Internat. J.Math. & Math. Sei., 1982, № 5,p.49−60
  205. Hadjidimos A., Yeyios A.K. Symmetrie accelerated overrelaxation method (SAOR).// Math. Comput. Simulation, 1982, № 24, p. 72−76
  206. Harris Courtney K., Wiberg Patricia L. A two-dimensional, time-dependent model of suspended sediment transport and bed reworking for continental shelves//Computers & Geosciences, V. 27, Issue 6, July 2001, p. 675−690
  207. Hayes L.J., and Young D.M. The Accelerated SSOR Method for Solving Large Linear Systems. CAN-123, Center for Numerical Analysis< University of Texas at Austin, 1977
  208. Householder, A.S., Principles of numeric analysis, McGraw-Hill, 1953
  209. Huleta C., Briensa C., Berrutia F. and Chanb E. W. Effect of a shroud on entrainment into a submerged jet within a fluidized bed //Chemical Engineering and Processing: Process Intensification, Volume 47, Issues 9−10, September 2008, P. 1435−1450
  210. Ipsen I., Meyer C. The ides behind Krylov Methods. Technical Report CRSC-TR97−3 Center of Research in Scientific Computation. Department of Mathematics. North Carolina University.
  211. Jacoby J.L.S., Kowalik J.S. Mathematical Modeling with Computers. -Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, Inc, 1980
  212. Jiang J., Fissel D.B., TophambD. 3D numerical modeling of circulations associated with a submerged buoyant jet in a shallow coastal environment // Estuarine, Coastal and Shelf Science, Volume 58, 2003. P. 475−486
  213. Johnson C.R. Inequalities for a complex matrix whose real part is positive definite.//Trans. Amer. Math. Soc. 1975. v. 212. p. 149−154.
  214. Kahan W. Gauss-Seidel Methods of Solving Large Systems of Linear Equations. Doctoral Thesis, University of Toronto, Toronto, Canada, 1958
  215. Kaporin I.E., A practical algorithm for faster matrix multiplication, Numerical Linear Algebra Appl., 1999, v.6, 687−700
  216. Kaporin. I.E. Explicitly preconditioned conjugate gradient method for the solution of unsymmetric linear systems, Int.J.Comp. Math., 40, 1992, p. 169−187
  217. Kaporin. I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition.- Numer. Linear Algebra Appls., N 1, 1999.
  218. Karakashian O.A. On Runge-Kutta methods for parabolic problems with time-dependent coefficients // Math. Comp.- 1986.-175 P. 77 — 101.
  219. Karamzin Yu. N. Zakharova I.G. On new additive difference method for parabolic equations, Math. Mod. Meth. Appl. Science., 6 (1996), pp. 353 363.
  220. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Block SSOR preconditionings for high order 3D FE systems.// BIT., 1989, v. 29, № 4, p. 805−823
  221. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Factorized sparse approximate inverse preconditionings.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1993, № 14, p. 45−58
  222. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations.// Applied Numerical Mathematics, 2002, № 41, p. 89−105
  223. Krukier L.A., Nicolaev I.A., Surkov F.A., Dombrovsky Yu.A. Numerical methods in water ecology-Math. Modeling and Appl. Math., 1992, IMACS Elsevier Science Publishers B.V. North Holland, p. 337−343.
  224. Kuznetsov Y.A. Matrix Iterative Methods in subspace.// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Warszawa, August 16−24, 1983, North Holland, Amsterdam
  225. Lanczos C. Chebyshev polynomials in the solution of large-scale linear systems.// Toronto Symposium on Computing Techniques, 1952, p. 124 133
  226. Lehman R.S. Computer, Simuliton and Modeling: An Introduction-N.Y.: Wiley, 1977
  227. Liu Wen-Cheng, Hsu Ming-His, Kuo Albert Y. Modelling of hydrodynamics and cohesive sediment transport in Tanshui River estuarine system, Taiwan/Marine Pollution Bulletin, V. 44, Issue 10, October 2002, p. 1076−1088.
  228. Logan J.D., Zlotnik V. The convection-diffusion equation with periodic boundary condition.// Applied mathematics letters, 1995, v. 9, № 3, p. 55−61
  229. Lumborg U. and Windelin A. Hydrography and cohesive sediment modelling: application to the Rjamo Dyb tidal area. Journal of Marine Systems Volume 38, Issues 3−4, January 2003, Pages 287−303.
  230. Lutz A. Numerical solution of second-order elliptic equations on plane domains. Math. Model, and Numer. Anal., 1991 — 25, N 2, P.169- 191.
  231. Lynn M.S. On the equivalence of SOR, SSOR and USOR as applied to
  232. Mahieux G., Lerche I. Dynamic modeling of turbidite erosion, transport and deposition in three dimensions//Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Series IIA — Earth and Planetary Science, V. 331, Issue 5,15 September, 2000, pp. 345−351.
  233. Malcherek A., LeNormant C., Peltier E., Teisson C., Markofsky M and Zielke W. Three Dimensional Modeling of Estuarine Sediment Transport.// Estuarine and Coastal Modeling. 1998, pp.42−55.
  234. Manteuffel T.A. Adaptive procedure for estimating parameters for the non-symmetric Tchebychev iteration.// Numerical Math., 1978, v. 31, p 183 208
  235. Manteuffel T.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems.// Math Comp., 1980, V. 34, p. 473−497
  236. Manteuffel T.A. The Tchebychev iteration for nonsymmetric linear systems.// Numerical Math., 1977, v. 28, p. 307−327
  237. McDonald E.T., Cheng R.T. Issues Related to Modeling the Transport of Suspended Sediments in Northern San Francisco Bay, California. // Estuarine and Coastal Modeling. 1998, pp.551−563
  238. McDowell L.K. Variable Successive Overrelaxation. // Report № 244, Dept. Computer Sciences, University of Illinois, Urbana, IL, 1967
  239. Meijerink J.A., Van Der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix.// Math. Comp., 1977, № 31(137), p. 148−162
  240. Meurant G. Computer solution for large linear systems. Elsevier Science B.V., 1999
  241. Mitchel A.R. Computational mathods in partial differential equatin.// j. Wiley and SONS, 1969
  242. Morton K.W. Numerical solution of convection-diffusion problems. Chapman&Hall, 1996
  243. Nachtigal N. A look-ahead variant of the Lanczos algorithm and its application in quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems, Ph. D. Dissertation, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge MA, 1991
  244. P. Stein. Some general theorems on iterates. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 48(1): 82−83, January 1952.
  245. Paige C.C., Saunders M.A. Solution of sparse indefinite systems of linear equations.// SIAM J. Numerical Anal., 1975, № 12, p. 617−629
  246. Pandoe W.W., Edge B.L. Three-dimensional hydrodynamic model, study cases for quarter annular and idealized ship channel problems//Ocean Engineering, 30 (2003), p. 1117−1135
  247. Pandoe Wahyu W. and. Edge Billy L. Cohesive sediment transport in the 3D-hydrodynamic-baroclinic circulation model, study case for idealized tidal inlet //Ocean Engineering, Volume 31, Issues 17−18, December 2004, P. 2227−2252.
  248. Parlett B.N., Taylor D.R., Lin Z.A. A look-ahead Lanczos algorithm for unsymmetric matrices.// Math. Comp., 1985, № 44, p. 105−124
  249. Peaceman D. W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equation. // J. Soc. Indust. Appl. Math., 1955, v.3, Nol, p. 28−41
  250. Okumura H, Kawahara M. Stabilized Bubble Element for Incompressible Navie-Stokes // Equation Finite Element in Flov Problem 2000. Austin, Texas
  251. Raithby G.D. A critical evaluation of upstream differencing applied to problems involved fluid flow// Comp. Math. Appl. Mech. Engrg-1977−10.-p. 54 -63.
  252. Raithby G.D. Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow // Comp. Math. Appl. Mech. Engrg.-l 976.-9.-p. 153 -164.
  253. Russell D.B. On obtaining Solutions to Navier-Stokes equations with automatic digital computers.// Aeronautical research council report R&M 3331 Engineering Laboratory, Oxford, 1963
  254. Saad Y. A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm.// SIAM J. Scientific Computing.,, 1993, № 14, p. 461−469
  255. Saad Y. Iterative methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1995
  256. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Scientific and Statistical Computing., 1986, p. 856−869
  257. Saad Y., Van der Vorst H. A. Iterative solution of linear systems in the 20th century. // J. of Computanional and Applied Mathematics, Elsevier Science, 2000, № 123, p. 1−33
  258. Schroeder W. W., Pennock J. R. and Wiseman W. J. Jr. A Note on the Influence of a Deep Ship Channel on Estuarine-Shelf Exchange in a Broad, Shallow Estuary. Coastal and Estuarine Studies. American Geophysical Union, 1996, V. 50, p. 159−170.
  259. Schwarze R., Klostermanna J., Bruckera C. Experimental and numerical investigations of a turbulent round jet into a cavity // International Journal of Heat and Fluid Flow, Volume 29, Issue 6, December 2008, P. 1688−1698
  260. Segal A. Aspects of numerical methods for elliptic singular pertubatin problems // SIAM J. Sci. Stat. Comput.-1982.- V. 3, N 3. P. 327 349.
  261. Sheldon J. On the numerical solution of the elliptic difference equations.// Math Tables Aids Comput. 1955, 9, p. 101−112
  262. Sonnoveld P. CGS: a fast Lanzos-type solver for nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1989, № 10, p. 36−52
  263. Southwell R.V. Relaxation Methods in Theoretical Physics. Clarendon Press, Oxford, 1946
  264. Taussky O. Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices.// Adv. Math., 1968, v.2, p. 175−186
  265. Taylor P.J. A generalization of Systematic Relaxation methods for consistently ordered matrices.// Num. Math., 1969, № 13, p. 377−395
  266. Todd J. The condition of a certain matrix.// Proc. Cambridge Philos., 46, p. l 16−118
  267. , A. M. (1948) «Rounding-off Errors in Matrix Processes,» Quart. J. of Mech. and Appl. Math. 1, pp. 287−308.
  268. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant if Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1992, № 3, p. 631−644
  269. Van Der Vorst H.A. Iterative solution methods for certain sparse linear systems with a non-symmetric matrix arising from PDE problems.// J. Comput. Phys., 1981, № 44, p. 1−19
  270. Van der Vorst H.A. Krylov Subspace Iteration.// Computing in Science and Engineering, Vol. 2(1) January/February 2000, p. 32−37
  271. Van der Vorst, H.A. Vuik C. GMRESR: a family of nested GMRES methods.//Numerical linear Algebra with Applications, 1994, № 1, p. 369−386
  272. Van Rijn L.C. Principles of Sediment Transport in Rivers, Estuaries and Coastal Seas. Aqua Publications, Amsterdam, The Netherlands, 1993.
  273. Varga R.S. Factorization and normalized iterative methods.// R.E. Langer (Ed), Boundary Problems in Differential equation, University of Wisconsin Press, Madison, 1960, p. 121−142
  274. Varga R.S. Matrix iterative analysis, Aprentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1962
  275. Varga R.S., Eiermann M., Niethammer W. Acceleration of Relaxation Methods for Non-Hermitian linear systems.// SIAM J. Matrix Anal. Appl., 1991, № 13, p. 979−991
  276. Velasco F.J.S., Praa C. L. and Herranza L. E. Expansion of a radial jet from a guillotine tube breach in a shell-and-tube heat exchanger// Experimental Thermal and Fluid Science, Volume 32, Issue 4, February 2008, P. 947 961
  277. Weiss R. Parameter-Free linear solvers, Berlin: Akademie Verlag, 1996
  278. Whitehouse R., Soulsby R.R., Roberts W., Mitchener H. Dynamics of Es-tuarine Muds. Thomas Telford Publ., London, UK, 2000.
  279. Woznicki Z.I. Matrix splitting principles.// International Journal of mathematics and mathematical sciences, № 28(1.4.5), 2001, p.251−284
  280. Woznicki Z.I. Nonnegative splitting theory.// Japan Journal of industrial and applied mathematics, 1994, V. l 1, № 2, p. 289−342
  281. Woznicki Z.I. The sigma-SOR algorithm and the optimal strategy for the illustration of the SOR iterative method.// Math. Comp., 62, 1994, p. 619 644
  282. Wu W., Rodi W., Wenka Th. 3D numerical modeling of flov and sediment transport in open channels. J. of Hydr. Endineering, 2000. Vol. 126, № 1, p.4−15
  283. Young D.M. Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic type, Doctoral Thesis, Harvard University, Cambridge, MA, 1950
  284. Young D.M. Iterative Methods for Solving Partial Differential equations of Elliptic Type. Trans. Amer. Math. Soc., 1954, 76: p. 92−111.
  285. Young D.M. Iterative solution of large linear iterative systems.// Academic Press, New York, 1971
  286. Young D.M. On accelerated SSOR method for solving large linear systems.// Advances in Mathematic, V.23, 1977, p.215−271
  287. Young D.M. On the accelerated SSOR method large linear system. Adv. in Mathematics 23, 1977, p.'215−271
  288. Zhang J. Accelerated high accuracy multigrid solution of the convection-diffusion equation with high Reynolds number.// Numerical methods Partial differential eq. 1997, № 77(1), p. 73−89
  289. Zhang J. Preconditioned iterative methods and finite difference schemes for convection-diffusion.// Applied mathematics and computation, 109(2000) p. 11−30
  290. Zheleznyak VJ The mathematical modeling of radionuclide transport by surface water from the vicinity of Chernobyl Nuclear Power Plant. Condensed Matter Physics, № 12, 1997, pp. 37−50
Заполнить форму текущей работой

На отлично!