Совершенствование коллокационных методов решения задач физической геодезии

Обоснование актуальности темы диссертации.

Благодаря трудам М. С. Молоденского, В. В. Бровара, JI. П. Пеллинена, Т. Krarup, Н. Moritz и других отечественных и зарубежных учёных линейные методы определения физической поверхности Земли и её внешнего гравитационного поля базируются в настоящее время на строгой теории, позволяющей решать основную проблему геодезии принципиально с любой точностью и обладающей, таким образом, практически неограниченными потенциальными возможностями. Однако вопросы устойчивой численной реализации этой теории представляют интерес и в настоящее время, поскольку неизбежные на практике дискретность измерений и наличие разного рода погрешностей вносят существенную специфику. К тому же за последние десятилетия возникла многообещающая возможность существенно расширить состав исходных данных за счёт альтиметрии и различных методов спутниковой гравиметрии (градиентометрия и др.). Одним из наиболее эффективных методов, позволяющих совместно использовать такую разнородную информацию для решения как основной задачи геодезии, так и других более частных задач физической геодезии, является метод среднеквадратической коллокации. Характеристической чертой этого метода является тот факт, что любой объект геодезических измерений трактуется определённым функционалом на одном и том же потенциале силы тяжести Земли. Это и позволяет рассматривать любые разнородные по составу геодезические измерения с единых позиций: измерены с определённой точностью значения некоторых функционалов на геопотенциале, требуется оценить значения некоторых других функционалов и их точность или восстановить потенциал. По-видимому, такая уникальная ситуация — все измерения суть функционалы на единой функции — имеет место только в случае геодезических измерений, и было бы неоправданно этим не пользоваться. К тому же, упомянутая единая функция обладает целым рядом полезных свойств, поддающихся теоретическому изучению в рамках специальной теории потенциала. Коллокация использует всё это полностью и даёт практический метод оценки одних функционалов на геопотенциале по результатам измерения других (локальная задача коллокации) или метод восстановления самого потенциала по результатам измерения определённых функционалов на нём (глобальная задача коллокации). Но, конечно, присущи методу коллокации и недостатки. Поэтому совершенствование этого метода и исследование возможностей его развития является актуальной задачей современных численных методов физической геодезии.

Цель и основные задачи исследования.

Основной целью диссертационной работы является исследование и разработка таких модификаций метода коллокации, которые частично или полностью преодолевают следующие основные недостатки этого метода: необходимость решать количество уравнений, равное количеству исходных измеренийнеобходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ).

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

• Анализ и экспериментальные исследования новейших зарубежных разработок последовательной и быстрой коллокации.

• Разработка и исследование собственного двухэтаиного гармонического анализа ГПЗ.

• Исследование возможностей фурье-анализа и вейвлет-анализа для выявления признаков нестационарности ГПЗ.

• Разработка и исследование методов коллокации в условиях нестационарного ГПЗ.

• Разработка и исследование возможностей определения функций влияния исходных функционалов.

• Адаптация программного пакета СгаувоЙ и использование возможностей программ Сеосо1 и БрЬргпщ для уточнения гравитационного поля по результатам спутниковой градиентометрии.

Научная новизна и практическая значимость работы.

• Совмещение различных идей, связанных, с одной стороны, с аппроксимацией функционалов на геопотенциале, а с другой стороны — с быстрым преобразованием Фурье, позволило С.С.Тзсегш^ (Дания) и Р. Башо (Италия) создать совсем новый алгоритм быстрой коллокации. Проделанные нами численные эксперименты с быстрой коллокацией показали существенное увеличение быстродействия при решении ресурсоёмких задач космической гравиметрии, что позволяет рекомендовать алгоритм быстрой коллокации для практического использования и в нашей стране.

• Примерно этому же направлению исследований принадлежит и наша разработка в виде двухэтапного гармонического анализа. Вычисления вдоль параллелей методом быстрого преобразования Фурье позволяют обеспечить некоррелированность коэффициентов Фурье, соответствующих различным частотам. Поэтому на втором этапе вместо решения одной, но очень большой системы тр уравнений, доказана возможность решать 2ЛГ + 1 систем, но каждая из них содержит лишь р уравнений. Здесь т и р — число меридианов и параллелей соответственно, определяющих сетку с исходными данными, а N — наивысшая степень искомых гармонических коэффициентов. Разработаны методы контроля вычислений, составлены необходимые программы для ПК.

• Ковариационный анализ гравитационного поля, обычно выполняемый в процессе решения задач физической геодезии методом коллокации, рекомендуется для выявления анизотропности выполнять с помощью двумерного преобразования Фурье и дополнять построением ковариационных карт и зависимостей радиуса корреляции от азимута по образцу рис. ?? — 2.19.

• Предложенные операции вейвлет-анализа позволяют эффективно выявлять локальные нестационарности и обоснованно делить обширную область с нестационарным гравитационным полем на такие подобласти, в которых поле можно считать стационарным, см. рис. 2.3, 2.22 и 2.23.

• Доказано, что отличие выборочного спектра от непрерывного имеет определённый порядок малости относительно шага сетки и поэтому при вычислении выборочного спектра можно пользоваться известным в теории аппроксимации правилом Рунге;

• В тех случаях, когда исходными данными в задаче коллокации служат измеренные значения одноимённых функционалов, разработана процедура непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, без решения систем уравнений. Показано, что функции влияния не зависят от вида функции, на которой заданы функционалы, а зависят только от используемого гильбертова пространства. Если поле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния, а все остальные функции получаются путём смещения аргумента. Область с нестационарным полем трактуется как объединение иод-областей с полем стационарным (сегментация), и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.

• Разработан специальный вид ковариационной функции нестационарного ГПЗ, обеспечивающий выполнение непрерывной сегментации ГПЗ и таким образом снимающий ограничительное требование метода коллокации о стационарности поля.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• Алгоритм двухэтапного гармонического анализа ГПЗ при большом количестве исходных данных.

• Методы ковариационного анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять, графически интерпретировать и учитывать в вычислениях анизотропность ГПЗ.

• Методы вейвлет-анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять и графически интерпретировать участки нестационарности поля.

• Метод создания непрерывной сегментации ГПЗ, позволяющий при использовании коллокации отбросить гипотезу о стационарности ГПЗ.

• Алгоритм непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, снимающий проблему решения большого количества уравнений.

Вклад автора в исследование.

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Отдельные результаты получены совместно с к. ф.-м. н. Сугаиповой Л. С.

Структура диссертации и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и заключения общим объёмом 145 страниц машинописного текста, имеется 41 рисунок и 11 таблиц.

Список литературы

насчитывает 75 наименований, в том числе 48 на английском языке.

Заключение

.

Ранее отмечалось, среднеквадратическая ко л локация является в настоящее время одним из самых эффективных численных методов физической геодезии. Однако необходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ) существенно ослабляют теорию этого метода, а необходимость решать количество уравнений, равное количеству исходных измерений, заметно затрудняет его практическое использование. В данной работе сделана попытка преодолеть или, по крайней мере, ослабить указанные недостатки.

Исследования подтвердили давно известный факт о том, что гравитационное поле заметно зависит от рельефа и может обоснованно трактоваться как стационарное только в равнинных районах. Но даже в равнинных районах возможность пользоваться изотропностью поля требует практического обоснования. В диссертации предложены подробные процедуры структурного анализа ГПЗ в виде построения разного рода ковариационных карт и вычисления ковариационных функций. Наиболее целесообразно, на наш взгляд, определять ковариационную функцию для исходных данных через двойное дискретное преобразование Фурье. Полученные таким способом ковариационные функции являются функциями разности координат двух точек, то есть функциями вектора, соединяющего эти две точки, и, следовательно, описывают неизотропное поле.

Если поле не является стационарным, то есть его спектральный состав изменяется с местоположением, то для изучения структуры поля приходится отказаться от фурье-анализа и естественно воспользоваться вейвлет-анализом. Именно так и сделано в диссертации. Построение одномерных вейвлет-преобразований отдельных профилей поля и двумерных вейвлет-спектрограмм позволяет выделить явно отличающиеся друг от друга участки поля и разделить, таким образом, изучаемую область на неперекрывающиеся подобласти, внутри каждой из которых поле можно считать стационарным. Для каждой такой подобласти составляется матрица анизотропности, что позволяет построить ковариационную функцию для нестационарного поля в исходной области. Дальнейшие вычисления выполняются по стандартным формулам коллокации, но «евклидовы расстояния» между точками заменяются «расстояниями МаЬаЫюЫэ». Таким образом, известная идея о сегментации поля в данном случае реализуется непрерывно, в отличие от традиционного подхода, приводящего к проблемам «нестыковки» на границах подобластей.

Что касается ослабления практического недостатка коллокации, связанного с необходимостью решать большое количество уравнений, то вкладом диссертанта являюся алгоритмы двухэтапного гармонического анализа и определения функций влияния. Первый из них уменьшает количество уравнений, подлежащих решению, примерно вдвое, а второй алгоритм вообще не требует решения уравнений. Если исходными данными служат значения одноимённых функционалов (например значения аномалии силы тяжести, значения каких-нибудь производных геопотенциала ит. п.), то глобальную задачу ко л локации можно решать в виде п-1.

9н (х) = ^ д (к1г>>" ~ кН)> (3−35) к=О где д{кК) — исходные измерения изучаемой функции д (х) в узлах кН регулярной сетки с шагом 1 г, аи^хкК) — соответствующие функции влияния. Они не зависят от вида функции, на которой заданы функционалы, а только от используемого гильбертова пространства. Основные вычисления при этом выполняются в частотной области, а исходной информацией о гравитационном поле служит не ковариационная функция, а спектральная плотность С{и)2.

Если поле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния с помощью одного (обратного) преобразования Фурье, так как все остальные функции влияния для каждого узла кк можно получить аналитически или численно путём сдвига найденной материнской функции Ьь (х) по оси абсцисс на к! г. Область с нестационарным полем трактуется как объединение подобластей с полем стационарным, и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.

Точность решения задачи коллокации определяется дисперсией оо / «а2(К) = I |СН|2 • (1 —) йи, (3.36) оо * где Уи (со) — образ Фурье материнской функции влияния. Дисперсия зависит только от шага к, то есть от разрешающей способности выборки. Чем ближе спектр выборочной функции к спектру реальной исходной функции, тем меньше дисперсия аппроксимации и тем оптимальнее используемая величина шага.

Известно, что один из наиболее эффективных методов интерполяции и аппроксимации функций основан на теории сплайнов. В разд. 3.2 показано, что базисные сплайны в общем случае не могут непосредственно использоваться в качестве функций влияния, но фундаментальные сплайны — типичные функции влияния. В диссертации выполнено экспериментальное сравнение точности восстановления функции по её выборочным значениям на регулярной сетке с помощью функций влияния и с помощью сплайнов. Мы ограничились при этом только кубическими сплайнами, как наиболее часто используемыми благодаря своим уникальным свойствам минимальной кривизны. Полученные среднеквадратические ошибки восстановления говорят о преимуществе функций влияния. С укрупнением шага это преимущество возрастает.

Наконец отметим, что все теоретические разработки автора обеспечены программами для персонального компьютера, позволяющими оперативно выполнять нужные вычисления и, при необходимости, сопровождать результаты графической интерпретацией.