Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Квантильные многомерные модели регрессий, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях

Диссертация: Квантильные многомерные модели регрессий, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Настоящая работа посвящена разработке новых квантильных многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюдений. Таким образом, тематика диссертационной работы является актуальной как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения возможных практических приложений. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 8 статей, из них 4… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Квантильные модели регрессий
    • 1. 1. Квантили и медианы вероятностных распределений
    • 1. 2. Квантили и медианы как статистические оценки значений случайной величины
    • 1. 3. Условные квантили многомерных вероятностных распределений. Квантильные модели регрессий
    • 1. 4. Примеры использования квантильной регрессии при обработке изображений
    • 1. 5. Многомерные распределения вероятностей, обладающие свойством воспроизводимости условных квантилей
    • 1. 6. Выводы
  • 2. Дифференциальные уравнения Пфаффа для условных квантилей многомерных вероятностных распределений
    • 2. 1. Парные наблюдения и наблюдения полной размерности
    • 2. 2. Дифференциальные уравнения Пфаффа для условных квантилей
    • 2. 3. Применение теоремы Фробениуса для решения вполне интегрируемых уравнений Пфаффа известных многомерных распределений
    • 2. 4. Интегральные кривые дифференциальных уравнений Пфаффа
    • 2. 5. Применение теоремы Дарбу для решение дифференциальных уравнений Пфаффа в случае отсутствия полной интегрируемости. Смесь 4-мерных гауссовских распределений с одинаковыми 3-мерными маргиналами
    • 2. 6. Решение дифференциального уравнения Пфаффа для смеси 9-мерных гауссовских распределений с одинаковыми 8-мерными маргиналами
    • 2. 7. Использование компьютерной алгебры («МАРЬЕ-13 «МАТНЕМАТ1СА-8») для решения и исследования дифференциальных уравнений Пфаффа
    • 2. 8. Выводы
  • 3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
  • Пфаффа для условных квантилей многомерных вероятностных распределений
    • 3. 1. Приближенное решение дифференциальных уравнений Пфаффа
    • 3. 2. Практическая реализация решения уравнения Пфаффа на пучке лучей, вычисление условной квантили трехмерного распределения Коши
    • 3. 3. Численное решение системы дифференциальных уравнений в среде MATLAB
    • 3. 4. Вычисление условной квантили для сферически симметричных распределений (интерполяция приближенных решений дифференциальных уравнений)
    • 3. 5. Радиальные функции
    • 3. 6. Программные реализация приближенного решения уравнения Пфаффа в среде MATLAB и на языке С
    • 3. 7. Выводы
  • 4. Линеаризация дифференциальных уравнений
    • 4. 1. Линеаризация квантильных уравнений Пфаффа
    • 4. 2. Линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 4. 3. Теорема о линеаризация автономных дифференциальных уравнений п — го порядка
    • 4. 4. Линеаризация дифференциальных уравнений второго порядка
    • 4. 5. Линеаризация дифференциальных уравнений 4-го порядка
    • 4. 6. Линеаризация дифференциальных уравнений 5-го порядка
    • 4. 7. Линеаризация дифференциальных уравнений 6-го порядка
    • 4. 8. Использование компьютерной алгебры («MAPLE-13 «MATHEMATICA-8») в задачах линеаризации и факторизации обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 4. 9. Выводы

Квантильные многомерные модели регрессий, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Диссертация посвящена разработке, исследованию и анализу основных свойств квантильных многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюденийразработке алгоритмов линеаризации дифференциальных уравнений.

Актуальность темы

.

Главная цель создания регрессионной модели некоторой системы состоит в оптимальном построении функциональной зависимости между наблюдаемыми переменными, характеризующими работу этой системы.

Возникновение регрессионных моделей относят к концу 18 века в связи с астрономическими и геодезическими работами П. С. Лапласа, A.M. Лежандра и К. Ф. Гаусса. Термины регрессия и корреляция впервые появляются в конце 19 века в работах Ф. Гальтона, посвященных генетике и психологии.

В настоящее время регрессионные модели имеют большое многообразие форм, степеней сложности и возможностей применения для решения теоретических и прикладных задач. Регрессионные модели составляют важную часть статистической теории распознавания образов и изображений (К. Fukunaga, A. Webb, S. Li, P. Qin, L. Devroye, R. Ledley, B.B. Сергеев, В. А. Сойфер, Л.П. Ярославский), методов машинного обучения (Е. Parzen, М. Rosenblatt, Э. А. Надарайа, И. А. Ибрагимов, В. Н. Вапник, А. Я. Червоненкис, A.B. Цыбаков), фильтрации и анализа данных, обнаружения закономерностей в данных и их извлечениях (W. Cochran, J. Tukey, R. Little, D. Rubin, Н. Г. Загоруйко, M.B. Лагутин, Ю.Н. Тюрин).

В основе квантильных статистических регрессионных моделей различных структур и процессов лежит широкое использование математической техники условных медиан и квантилей многомерных вероятностных распределений (J. Tukey, P. Bhattacharya, R. Koenker, P. Chaudhuri, Ch. Thomas-Agan, С. Я. Шатских, O.B. Горячкин). Это связано с появлением новых статистических моделей, в которых ошибки наблюдений имеют негауссовские распределения с «тяжелыми хвостами». Для таких моделей предположение о существовании моментов функций распределения уже не является справедливым. Поэтому в регрессионном анализе и теории фильтрации развивается «безмоментный» подход, в рамках которого условные медианы и квантили, как функции «объясняющих факторов», используются вместо условных средних. Кроме того, по сравнению с оценками наименьших квадратов, выборочные условные медианы и квантили менее чувствительны к появлению резко отклоняющихся наблюдений.

Настоящая работа посвящена разработке новых квантильных многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюдений. Таким образом, тематика диссертационной работы является актуальной как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения возможных практических приложений.

Цель и задачи исследования

.

Целью диссертации является разработка и исследование квантильных многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюдений, разработка алгоритмов линеаризации дифференциальных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Создание новой квантильной многомерной регрессионной модели, основанной на данных парных наблюдений и дифференциальных уравнениях Пфаффа, применение этой модели к решению задач медианной фильтрации и интерполяции изображений.

2. Разработка алгоритма обнаружения закономерностей в данных парных наблюдений и их извлечениях.

3. Построение теории квантильной многомерной регрессионной модели (на основе использования исчисления внешних дифференциальных форм, теорем Фробениуса и Дарбу).

4. Разработка алгоритма приближенного решения вполне интегрируемых квантильных уравнений Пфаффа и его программная реализация.

5. Разработка алгоритмов линеаризации квантильных уравнений Пфаффа, автономных дифференциальных уравнений п—го порядка, и их практическая реализация.

Методы исследований.

В диссертационной работе используются методы теории вероятностей и многомерного статистического анализа, анализа данных, статистической теории распознавания образов и изображений, линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и вычислительной математики.

Научная новизна работы.

Научной новизной обладают следующие результаты:

1. Разработана новая квантильная регрессионная модель (КРМ), основанная на данных парных наблюдений и дифференциальных уравнениях Пфаффа. Рассмотрена возможность применения этой модели к решению задач медианной фильтрации и интерполяции изображений.

2. Разработан алгоритм обнаружения закономерностей в данных парных наблюдений и их извлечениях.

3. Разработана теория КРМ (на основе использования исчисления внешних дифференциальных форм, теорем Фробениуса и Дарбу).

4. Разработан алгоритм приближенного решения вполне интегрируемых квантильных уравнений Пфаффа для условных квантилей и его программная реализация.

5. Разработаны новые алгоритмы линеаризации квантильных уравнений Пфаффа, автономных дифференциальных уравнений п—го порядка, и их практическая реализация.

Практическая ценность работы.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Однако, разработанные в ней квантильные регрессионные модели могут быть положены в основу решения многих конкретных прикладных задач связанных с распознаванием образов и изображений, медианной фильтрации, интерполяции изображений, а также с разработкой алгоритмов анализа данных.

Реализация результатов работы.

Материалы диссертации внедрены в учебный процесс кафедры теории вероятностей и математической статистики Самарского государственного университета.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы были представлены на конференциях:

— Third Int. Conf. «Symmetry in nonlinear math, physics Kyiv, Ukraine, 12−18 July 1999.

— Int. Sei. Conf. on Mathematics, ISCM HERL’ANY, Slovak Republic, Oct. 21−23, 1999. University of Technology Kosice.

— The International Conference MORGAN 2000. Modern Group Analysis for the New Millennium, Ufa, RUSSIA, 27 September- 03 October, 2000.

— Всероссийская научная конференция «Качественная теория дифференциальных уравнений и её приложения Рязань, 9−13 октября 2006.

— XVII Всероссийская школа — коллоквиум по стохастическим методам, г. Кисловодск, 1−8 мая 2010 г.

— Семинар кафедры теории вероятностей и математической статистики СамГУ (рук. проф. С.Я. Шатских), (2010 — 2012 гг.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 8 статей, из них 4 — в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Результаты научных публикаций в соавторстве, принадлежащие И. С. Орловой:

38] Формулировки теорем 1 и 2. Реализация идеи квантильной регрессионной модели, основанной на данных парных наблюдений для некоторых базовых распределений вероятностей.

39] Доказательства теорем 1 и 2. Проверка полной интегрируемости и решение квантильных уравнений Пфаффа для базовых распределений. Вычисление класса Дарбу и решение квантиль-ного уравнения Пфаффа для смеси гауссовских распределений.

9] Доказательство леммы 1. Доказательства предложений 4.1, 4.2, 4.3.

66] Propositions 1.2, 2.2, 3.1.

67] Examples 1, 2, 3. Propositions 5, 6.

68] Propositions 3.1, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2, 4.3.

Структура и объём диссертации.

Поставленные задачи определили структуру работы и содержание отдельных разделов. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников и приложения. Она изложена на 135 страницах машинописного текста (без приложения), содержит 24 рисунка, 3 таблицы, список использованных источников из 118 наименований.

4.9 Выводы.

1. Осуществлена линеаризация квантильных уравнений Пфаффа.

2. Сформулирована и доказана лемма о неточечной замене переменных в факторизованных автономных дифференциальных уравнениях п — го порядка.

3. Доказана теорема о линеаризации автономных дифференциальных уравнений п — го порядка.

4. Осуществлена линеаризация автономных дифференциальных уравнений 4, 5, 6 — го порядков.

Показать весь текст

Список литературы

  1. С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
  2. Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939.
  3. Д.В., Виноградов A.M., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 28 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М., 1988.
  4. Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1, М.: «Наука 1973, 294 с.
  5. JI.M. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Куйбышевский государственный университет. 1978, 92 с.
  6. JI.M. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. Саратовского университета. 1989, 192 с.
  7. JI.M. Факторизация и преобразование дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: РХД, 2002, 464 с.
  8. JI.M. Метод точной линеаризации ОДУ п-го порядка. Вестник СамГУ, спецвыпуск, 1995, с. 6−14.
  9. JI.M., Орлова И. С. Точная линеаризация некоторых классов автономных ОДУ. Вестник СамГУ, 1998, №-4(10), с. 5−16.
  10. Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976, 400 с.
  11. Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Мн., «Вы-шэйшая школа 1977, с. 240.
  12. A.A. Теория вероятностей. Изд. 4-е. М.: Едиториал УРСС, 2003.
  13. A.A. Математическая статистика. (3 изд.), М.: ФМ, 2007. 704 с.
  14. ВапникВ.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 448 с.
  15. И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения (2 изд.), М.: УРСС, 2004.
  16. К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973, с. 188.
  17. В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. M-JI. 1950.
  18. О.В. Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. М.: Радио и связь, 2003, 229 с.
  19. О.В., Шатских С. Я. Метод анализа независимых компонент на основе преобразования независимости// Доклады Академии Наук Российской Федерации, т.398, № 4, 2004 г.
  20. В.Я. Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений. Вестник Удмуртского университета. 2009, вып. 1, с. 56−99.
  21. Н.В. Введение в теорию внешних форм. М. «Наука 1977.
  22. М.Я. Критерий линеаризации дифференциальных форм. // Изв. вузов «Математика№ 3, 1983, стр. 40−46.
  23. М.Я. Вырождения дифференциальных 1-форм и структур Пффафа. Успехи математических наук, т. 46, вып. 5(281), 1991, стр. 47−78.
  24. Н.Г. Анализ данных. 266 с.25| Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: МИР, 1975.
  25. А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: МИР, 1971. 392 с.
  26. Е.М. Условные квантили многомерных распределений и их асимптотические свойства. Дисс. канд. Самара 2001.
  27. Е.М., Шатских С. Я. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений// Теория вероятностей и её применения, т.51, вып. 2, 2006, стр. 374−382.
  28. А.И. Прикладная математическая статистика. М.: ФМ, 2006, 816 с.
  29. Н.И. Теория комплексов. Изд. Киевского ун-та. 1963.
  30. Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:ИЛ, 1958, 474 с.
  31. С.Н., Чубенко A.B., Бабич П. Н. Статистические методы в медико-биологических исследованиях. Киев, «Морион 2001, 407 с.
  32. А.Ю. Неосциляция решений уравнения х^ + pi(t)x^n~^ +. + pn (t)x = 0. Успехи математических наук, 1969, т. 24, вып. 2, с. 43−96.
  33. Мостеллер Ф, Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. Вып. 1, 2. М.: Финансы и статистика. 1982.
  34. И.С. Об одном методе точной линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений пятого и шестого порядков. Вестник СамГУ, 2000. №-4(18), с. 35−48.
  35. И.С. Факторизация и преобразования нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. Российской акад. естественных наук. 2006. № 11, с. 175−176.
  36. И.С., Шатских С. Я. Уравнения Пфаффа для условных квантилей. Обозрение прикладной и промышленной математики т. 17, вып. 2, М.: Редакция журнала «ОПиПМ 2010, с. 237−239.
  37. Планирование оптимальных экспериментов, (сб. статей), М.: Изд. МГУ, 1975.
  38. А., Зайцев В. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
  39. Ю.В. (гл. ред.) Вероятность и математическая статистика. М.: БРЭ. 1999.
  40. П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. ОГИЗ. М-Л, 1947.
  41. .JI., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. (2 изд.), М.: Наука, 1978.
  42. Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1, М.: ИЛ, 1953, 346 с.
  43. Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2, М.: ИЛ, 1954, с. 400 с.
  44. Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 456 с.
  45. В.В., Тимбай Е. И. Метод контрольной максимальной ошибки компрессии. // Коми, оптика, 2007, т. 37, № 3, с. 83−87.
  46. В.А. (под ред.) Методы компьютерной обработки изображений. 2-е изд. М.: ФМ, 2003, 784 с.
  47. В.В. Курс дифференциальных уравнений, изд. 8-е, М.: Физ-матгиз, 1959, с. 472.
  48. С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.
  49. С.П. Метод внешних форм Картана. М-Л, 1948.
  50. Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М.: ФМ, 1962. 608 с.
  51. К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979, 367 с.
  52. В. Прикладная непараметрическая регрессия. М.: Мир, 1993. 349 с.
  53. В. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. 957 с.
  54. А.Г. Топологическая теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008.
  55. С.П. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными. // Теоретическая и математическая физика, т. 122, № 1, 2000, с. 144−160.
  56. С.Я. Об одном варианте преобразования независимости. // сб. «Мера и интеграл Самара: изд-во «Самарский университет 1995, с. 99−112.
  57. С. Я. Необходимое условие воспроизводимости условных квантилей многомерных вероятностных распределений // Изв. РАЕН, сер. МММИУ, 2000, т. 4, № 4, с. 67−72.
  58. С. Я. Преобразование независимости случайных величин и условные квантили многомерных распределений. — Докторская диссертация. Самара, 2002, 270 с.
  59. С.Я. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений эллиптически контурир о ванных мер. / / Теория вероятностей и её применения, т.50, вып. 2, 2005, стр. 292−311.
  60. R.J., Feldman R.E., Taqqu M.S. (eds.) A practical guide to heavy tailes: statistical tehniques and application. Birkhauser, Boston, 1998, 533 p.
  61. Anderson T.W. Nonnormal multivariate distributions: inference based on ellipticaly contoured distributions. Multivariate Analysis: Futur Directions, Elsevier Science Publishers (ed. C.R. Rao), 1993, p. 1400−1422.
  62. Berk R. Statistical learning from a regression perspective. Springer, 2008, 358 p.
  63. Berkovich L.M., Orlova I.S. Linearization of second and third orders nonlinear ordinary differential equations. ISCM HERL’ANY 1999. University of Technology Kosice. Proceedings, pp. 35−38.
  64. Berkovich L.M., Orlova I.S. Point and nonpoint transformations of nonlinear ordinary differential equations. The International Conference MORGAN 2000. Modern Group Analysis for the New Millennium, Ufa, RUSSIA, 27 September- 03 October, 2000. pp. 32−36.
  65. Berkovich L.M., Orlova I.S. The Exact Linearization of Some Classes of Ordinary Differential Equations for Order n > 2. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2000. Vol. 30, Part 1, 90−98.
  66. Bhattacharya P. K. On an analog of regression analysis. // Annals of mathematical statistics, v. 34, 4 (Dec. 1963), 1459 1473.
  67. Bhattacharya P., Gangopadhyay A. Kernel and Nearest-Neighbor Estimation of a Conditional Quantile. // Annals of statistics, v. 18, 3 (Sep. 1990), 1400 1415.
  68. Bilodeau M., Brenner D. Theory of multivariate statistics. Springer, 1999.
  69. Birkes D., Dodge D. Alternative methods of regression. Wiley, 1993. 228 p.
  70. Blagoveshchenskii Yu., Svyatoduch I. Regression models for quantiles. // Journal of Math. Sciences, v. № 103, №. 4, NY, 2001. p. 509−517.
  71. Bozdogan H. Statistical data mining and knowledge discovery. 2004. CRC, 595 p.
  72. Bronstein M. An improved algorithm for factoring linear ordinary differential operators. Proc. ISSAC'94, 336−340.
  73. Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldschmidt H.L., Griffits P.A. Exterior differential systems. Springer. 1991.
  74. Camporesi R., Di Scala A generalization of theorem of Mammana, 2011.
  75. Chaudhuri P. Global nonparametric estimation of conditional quantile functions and their derivatives. // Journal of multivariate analysis, 39, 246 269, (1991).
  76. Duarte L. G. S., Moreira I, C., Santos F.C. Linearisation under nonpoint transformations. // J. Phys A: Math Gen 27 (1994), L739-L743.
  77. Edelen D. Applied exterior calculus. Wiley, 1985.
  78. Emmeret-Streib F., Dehmer M. Information theory and statistical learning. Springer, 2009. 439 p.
  79. Euler N., Euler M. Sundman symmetries of nonlinear second-order and third-order ordinary differential equations. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2004, 11 (3), p. 399−421.
  80. Friedman J., Hastie T., Tibshirani R. The elements of statistical learning. (2 ed.), 2008, 807 p.
  81. Friedrichs K. Advanced ordinary differential equations. Nelson, 1965, 205 p.
  82. Green W. Econometric analysis. (5 ed.), Prentice Hall, 2002. 802 p.
  83. Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous multivariate distribution, v. l, 2 ed. Wiley, 2000.
  84. Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous multivariate distribution, v.2
  85. Jureckova J. M, L, and R estimators. Handbook of statistics, v.4, Nonparametrics methods, Elsevier. 1989.
  86. Koenker R. Quantile regression.
  87. S. (et al.) Encyclopedia of statistical science, 16 volumes (2ed., Wiley, 2005)
  88. Kotz S., Nadarajah S. Multivariate t distribution and their applications. Cambridge University Press, 2004.
  89. Landau E. Ein Satz uber die Zerlegung homogener linearer Differentialausdrucke in irreducibke Factoren J. Reine Angew. 1901/1902. V. 124. P. 115−120.
  90. Le C.T. Introductory bio statistics. Wiley, 2003, 536 p.
  91. Li S. Z. Markov random field modeling in image analysis. Springer, 2009, 357 p.
  92. MacCallum M.A.H., Mikhailov A.V. (eds.) Algebraic Theory of Differential Equations. Cambridge University Press, 2009, p. 240.
  93. Mammana G. Sopra un nuova metodo di studio delle equazioni differenziali lineari // Math. Zeit., 1926, vol. 25, p. 734−748.
  94. Mammana G. Decomposizione delle expressioni differenziali lineari omogenne improdotti di fattori simbolici e applicazione relativa alio studio delle equazione differenziali lineari.// Math. Zeit., 1931, vol. 33, p. 186−231.
  95. Meleshko S.V. Methods for Constructing Exact Solutions of Partial Differential Equations. Springer, 2005, p. 352.
  96. S.V., Ibragimov N.H. (at al) Symmetries of Integro-Differential Equations. Springer, 2010.
  97. Meleshko S.V. On linearization of third-order ordinary differential equations// J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 15 135 15 145 p.
  98. Mukerjee H. Nearest neighbor regression with heavy-tailed errors. // Annals of statistics, v. 21, 3 (Jun. 1993), 681 693.
  99. Nakpim W., Meleshko S.V. Linearization of second-order ordinary differential equations by generalized Sundman transformation// SIGMA 6 (2010), 051, 11 p.
  100. Painleve P. Lecons sur la theorie analytique des equations differentielles, professees a Stokholm, Paris. 1897.
  101. Poiraud-Casanova S., Thomas-Agan Ch. Quantiles conditionnels // Journal de la Societe Francaise de Statistiques, t. 139, 4, 1998, p. 31−41.106 107 108 109 110 110 483 452 241 616 088 072 192
  102. Polya G. On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation. Trans. Amer. Math. Soc., 1922, p. 322 324. van der Put M., Singer M. Galois theory of linear differential operators. 454 p.
  103. Quantile Regression and Related Methods, The Indian Journal of Statistics, Special Issue, 2005, Vol. 67, Part 2, pp 418−440.
  104. Sachdev P.L. Nonlinear ordinary differential equations and their applications. Dekker, 1991, 579 p.
  105. Seber G., Wild C. Nonlinear regression. Wiley, 2008, 768 p.
  106. Shatskikh S.Ya. Conditional quantites of Gaussian measure in Hilbert space. // Journal of Math. Sciences, v. 85, №. 5. NY, 1998.
  107. Shatskikh S.Ya. Asymptotic properties of conditional quantiles of Cauchy distribution in Hilbert space. // Journal of Math. Sciences, v. 93, №. 4. NY, 1999.
  108. Stevens J. Applied multivariate statistics for the social sciences. LEA, 2002, 699 p.
  109. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois corps. // Acta Math 36 (1912−1913), 105−179.
  110. Takezawa K. Introduction to nonparametric regression. Wiley, 2006, 538 p.
  111. Vapnik V. Estimation of dependence based on empirical data (2 ed.). Springer, 2006, 595 p.
  112. Vapnik V. The nature of statistical learning. (2 ed.). Springer, 2000, 314 p.
  113. Webb A.R. Statistical pattern recognition (2 ed.). Wiley, 2006, 496 p.
  114. Zhitomirskii M. Typical singularities of differential 1-forms and Pfaffian equations. AMS, 1992.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!