Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ², Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ
![ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ: Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ
ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ², Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ](https://niscu.ru/work/1701808/cover.png)
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ, Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉ Π·ΠΎΠ½Π΅, ΠΏΠΎΠ»Π΅, ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (6), Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΈ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ. Π£ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ G. ΠΡΡΡΡ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2), Π½ΠΎ Π΅ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ: 1… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ², Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
http://
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ², Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ
1. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ°
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠ΅Π»ΡΠΌΠ³ΠΎΠ»ΡΡΠ° Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π (x, y, z) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ S, ΠΎΡ Π²Π°ΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΡ Π. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ° ΠΡΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ°-Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ ΠΎΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ S.
ΠΡΡΡΡ u(Π) ΠΈ G(Π) — ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° V, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΡ Π, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ S. Π ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΡΠΈΠ½Π°
. (1)
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠ΅Π»ΡΠΌΠ³ΠΎΠ»ΡΡΠ° (7.1), ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
u + k2u = 0,
Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ G ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
G + k2G = -4(|r — r1|), (2)
ΡΠΎ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (7.1) ΠΈ (2) Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
— (3)
2. ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ°-ΠΠ΅Π»ΡΠΌΠ³ΠΎΠ»ΡΡΠ° ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π° ΠΎΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ r1 (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΡΠΈΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°):
. (4)
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ, ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ ΡΠΊΡΠ°Π½ Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ S ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° S1 ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡ S2 Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π (ΡΠΈΡ. 1). ΠΠ° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ S2 ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ r = |r — r1|, ΠΈ ΠΏΡΠΈ rk >> 1, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉ Π·ΠΎΠ½Π΅, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ G Π²ΠΈΠ΄Π° (4) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
.
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ·Π»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ΄Π°
. (5)
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° (4) ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΠ·Π»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠ΄ΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ Π² ΡΠΊΡΠ°Π½Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΠΎΠ»Π½ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ (5) Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ S2 Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2) ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉ Π·ΠΎΠ½Π΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»Ρ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π° ΡΠ΅Π½Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ:
1) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u ΠΈ u/n ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ Π²ΡΡΠ΄Ρ Π²Π½Π΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°;
2) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u ΠΈ u/n Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°.
ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (7.1), ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠ΅Π½Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±Π° ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ.
Π ΠΈΡ. 1. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ΄Π° Π ΠΈΡ. 2. ΠΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΊΡΠ°Π½ Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠ°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π°
u(x, y, z) = u0(x, y, z)exp[i(kxx + kyy + kzz)] (ΡΠΈΡ. 2),
ΡΠΎ
x1, y1 — ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠΈ. ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3) Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ kr >> 1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
. (6)
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ, Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉ Π·ΠΎΠ½Π΅, ΠΏΠΎΠ»Π΅, ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (6), Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΈ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ. Π£ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ G. ΠΡΡΡΡ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2), Π½ΠΎ Π΅ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ: 1) ΠΈΠ»ΠΈ 2). Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ G1 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΡΠΈΠ½Π°, Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ G2 — Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΡΠΈΠ½Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΠ΅ΠΉΠΌΠ°Π½Π°.
ΠΡΠ±ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ G1 ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π² Π½ΡΠ»Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (3) ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ u/n, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u, Π° Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ G2 ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π² Π½ΡΠ»Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (3) ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ u, ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ u/n. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. ΠΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΡΠΈΠ½Π° G1 ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° z > 0 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Π³Π΄Π΅
.
Π ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΏΡΠΈ z1 = 0 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ G1 = 0,, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
. (7)
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΡΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ. ΠΡΠΈ z1 = 0 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ G2/n = 0,, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
. (8)
3.Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ Π²ΠΎΠ»Π½
ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° (3) ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΡΠΈΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ»Π½Π°ΠΌ:
(9)
— (10)
ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ (ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ) ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ z
. (11)
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (11) Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ΅Π»ΡΠΌΠ³ΠΎΠ»ΡΡΠ° (7.1), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
d2F/dz2 + (k2 — kx2 — ky2)F = 0. (8.12)
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (12) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄: F(kx, ky, 0) = F0(kx, ky). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (12), ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½Π΅, ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ z, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ
:
. (13)
Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° z = 0.
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΠ·ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄: g(x, y) = 1 — Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠΈ, g(x, y) = 0 — Π²Π½Π΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ u0(x, y) = uΠΏ(x, y) g(x, y), Π³Π΄Π΅ uΠΏ(x, y) — ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ z = 0. Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΏΠΎΠ»Ρ Π·Π° ΡΠΊΡΠ°Π½ΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΊΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΡΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°
.
ΠΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ uΠΏ = exp (ikzz), Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΠΊΡΠ°Π½, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: FΠΏ = (kx)(ky). Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π°, ΠΊΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΎΡΠΈ Ρ, ΡΠ°Π²Π΅Π½
.
Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ,
.
Π¨ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π€ (kx) = 0, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ
kx = 2/Π°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ k ΠΈ ΠΎΡΡΡ z ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ sin () = /a. ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠ°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π° ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xz Π½Π° ΡΠΊΡΠ°Π½ ΡΠΎ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ 0 ΠΊ ΠΎΡΠΈ z, ΡΠΎ
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ a(sin () — sin (0))/ = 1. ΠΠ»Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΈ /a << 1 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
.
4. ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ°, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Ρ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΊΡΠ°Π½ z = 0 Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ. ΠΠΎΠ»Π΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ M (x, y, z), Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ (7). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ u(x1, y1) Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ (7) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ zu(x1, y1)/r2 ΠΈ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠΈΠ»Π»ΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ exp (ikr).
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Ρ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠΈΠ»Π»ΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°Π» Π²ΡΡΠ΄Ρ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ). Π ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ (x1, y1) = ikr Π² ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π΄ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠ»Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΈΠ΄Π° (7) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°
Ρ 1 = Ρ . ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Ρ1 = Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
. (14)
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ z = 0 Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ 1 = Ρ , Ρ1 = Ρ, Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ (7) ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° /2, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ (x — x1)2/(z) + (y — y1)2/(z) = m/2, ΠΈΠ»ΠΈ — ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ 1 = Ρ , Ρ1 = Ρ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ, Π³Π΄Π΅ m — ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° z = 0 ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π·ΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·ΠΎΠ½Ρ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ (7) ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π», Π²Π·ΡΡΡΠΉ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π·ΠΎΠ½ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ, — Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠ΄, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π·ΠΎΠ½Π° Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π°2 >> z, ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌΠΈ Π·ΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ (7) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ . Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π² Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
. (15)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (15) ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π·ΠΎΠ½Π° Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ D — ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·ΠΎΠ½Ρ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ ΠΊ Π°ΠΏΠ΅ΡΡΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ:
. (16)
ΠΡΠ»ΠΈ D << 1, ΡΠΊΡΠ°Π½ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ. ΠΡΠΈ D ~ 1 (Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ) ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·ΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠΌΡ Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ Π² ΡΠΊΡΠ°Π½Π΅, ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u0(x1, y1) Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π² ΡΠΈΠ»Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΠΈΡΡ Π³ΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΊΡΠ°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ u0 = 0. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊ Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΈ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΡ, Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΠΎΡΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ |x — x1|/z << 1,
|y — y1|/z << 1, ΡΠΎΠ³Π΄Π° r z + [(x — x1)2 + (y — y1)2]/(2z), ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» (7) ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ:
(17)
Π³Π΄Π΅ fx = x/(z), fy = y/(z). Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (17) ΠΈ (11), Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π² ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ (17) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ (Π€ΡΡΡΠ΅-ΠΎΠ±ΡΠ°Π·) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠ°ΠΌ fx ΠΈ fy.
ΠΡΠΈ D >> 1 (Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ Π€ΡΠ°ΡΠ½Π³ΠΎΡΠ΅ΡΠ°), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π²Π°ΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·ΠΎΠ½Ρ Π€ΡΠ΅Π½Π΅Π»Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π΅ (17) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
(18)
Π³Π΄Π΅ F0 — ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u0(x1, y1).
5. ΠΠ²Π°Π·ΠΈΠΎΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΡΠ΅ΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΡΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ. Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π΄Π΅Π»ΡΡΠ°-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ·ΠΊΠΈΠΉ. ΠΠ²Π°Π·ΠΈΠΎΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²ΠΎΠ»Π½Ρ = 2/k. ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ·ΠΊΠΈΠΌ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ |kx| << k, |ky| << k. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ (13) Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π² ΡΡΠ΄, ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΠ² Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ kx ΠΈ ky ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅:
.
Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (11) Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ z = const ΠΏΡΡΠΎΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ
.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΡΠ΄Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (10) Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° F0(kx, ky) ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ dkx:
.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ dkΡ. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ A(x, y, z) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
(19)
Π³Π΄Π΅ — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ,. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° A(x, y, z) ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ:
. (20)
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΡ Π΅Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΎΠΊ ΡΠ°ΡΠΏΠ»ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·-Π·Π° Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ z = 0 ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
A(x1, y1) = A0(x1/a)(y1/a).
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» (19), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
. (21)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠ΅Π»ΡΠΌΠ³ΠΎΠ»ΡΡΠ° (7.1) Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ x/z << 1, y/z << 1 Π²ΠΈΠ΄
ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠΉ Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (21). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΎΠΏΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ½Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ, Π² ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΊΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° Π½Π΅ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°.
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ z = 0 ΠΏΡΡΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ½Ρ ΠΈ Π³Π°ΡΡΡΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ A(z = 0) = A0exp (-r2/a2), Π³Π΄Π΅ r2 = x2 + y2, a — Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΡΡΠΊΠ° Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ z = 0, ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» (19) Π΄Π°Π΅Ρ
(22)
ΠΡΠΈ z > 0 ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ Π³Π°ΡΡΡΠΎΠ²ΠΎ, Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, a2(z) = a2(1 + D2), ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, Π° ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ½Ρ ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Ρ Π² ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΎΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΡΡΡ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ½ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ = 0 + Π½Π»(|Π|2) = 0 + 2|Π|2 + 4|Π|4 + …. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ΅Π»ΡΠΌΠ³ΠΎΠ»ΡΡΠ° (7.1) ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
E + 0E2/c2 + Π½Π»(|Π|2)E2/c2 = 0. (23)
ΠΠ»Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΊΠΎΠ² Ρ ΡΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (23) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΠΠ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²
(24)
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π» ~ 0. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (24) Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (23), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ :
. (25)
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ (25) ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (20) ΠΏΡΠΈ Π½Π» = 0, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΎΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Ρ. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (25) ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ
A = A0exp (-ik), (26)
Π³Π΄Π΅ — ΡΠΉΠΊΠΎΠ½Π°Π» ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠΉΠΊΠΎΠ½Π°Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ (24). ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (26) Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (25) ΠΈ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
(27)
. (28)
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (27) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΉΠΊΠΎΠ½Π°Π»Π° Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ «ΡΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ»: Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (28) ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΎΠ»Π½Π΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ°. Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΊΠΈ (7.4) ΠΈ (7.5), Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΉΠΊΠΎΠ½Π°Π»Π° ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌ
Π½Π»(|Π|2) = 2Π02,
ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ 2 < 0 Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΎΠΊΡΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π»ΡΡΠ°. ΠΡΠΈ 2 > 0 Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠΎΠΊΡΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° Π»ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΠΊΡΡ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ.
ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°
Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΈΡΡ Π³ΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
1. ΠΠΈΡ ΠΌΠ°Π½ Π. ΠΠ΅ΡΠΊΠ»Π΅Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ²Π°Π½ΡΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2007.
2. ΠΠΎΠ»ΡΠΊΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉΠ½ Π. Π‘. Π‘Π±ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΡΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2009.
3. ΠΠ΅ΡΡΠ΅Π½Π·ΠΎΠ½ Π. Π. ΠΈ Π΄Ρ. ΠΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Ρ.Ρ. 1−2. ΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ°. Π.: ΠΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΡ, 2008.
4. ΠΠ΅ΡΠ»Π°Ρ Π. Π., Π―Π²ΠΎΡΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π. ΠΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π. ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 2009
5. ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. Π.: ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌ, 2008.
6. ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ°. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ. Π.: ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠΈΡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, 2009.
7. ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ. Π.: ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠΈΡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, 2009.
8.ΠΠ°Π»Π°ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π‘. Π. ΠΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2007.
9. ΠΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π., ΠΠ°ΠΉΡ Π£., Π ΡΠ΄Π΅ΡΠΌΠ°Π½ Π. ΠΠ΅ΡΠΊΠ»Π΅Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ°. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2007.
10.ΠΠ°ΡΠ²Π΅Π΅Π² Π. Π. ΠΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Ρ.Ρ. 1−4. Π.: ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 1976;2009.
11. ΠΠ°ΡΡΠ΅Π»Π» Π. ΠΠ΅ΡΠΊΠ»Π΅Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌ. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2009.
12.Π Π΅ΠΉΡ Π€. ΠΠ΅ΡΠΊΠ»Π΅Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2007.
13. Π‘Π°Π²Π΅Π»ΡΠ΅Π² Π. Π. ΠΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ.Ρ. 1−5. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2007.
14. Π‘ΠΈΠ²ΡΡ ΠΈΠ½ Π. Π. ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ.Ρ. 1−5. Π.: ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 2008.
15. Π’ΡΠΎΡΠΈΠΌΠΎΠ²Π° Π’. Π. ΠΡΠ°ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π.: ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 2009.
16. Π€Π΅ΠΉΠ½ΠΌΠ°Π½ Π ., ΠΠ΅ΠΉΡΠΎΠ½ Π ., Π‘ΡΠ½Π΄Ρ Π. Π€Π΅ΠΉΠ½ΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠ΅ Π»Π΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. Ρ.Ρ. 1−9. Π.: ΠΠΈΡ, 2007.
17. Π₯Π°ΠΉΠΊΠΈΠ½ Π‘. Π. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 2007.
18. Π―Π²ΠΎΡΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π., ΠΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ.Ρ. 1−2. Π.: Π€ΠΠΠΠΠ’ΠΠΠ’, 2008.