Методы сравнения нечетких чисел

Важным аспектом решения практических задач является выбор методики сравнения нечетких чисел, так как в данном случае операция сравнения не является однозначной. Наиболее распространены следующие подходы к сравнению нечетких чисел.

1. Подход, согласно которому нечеткие числа сравниваются посредством сопоставления дефазифицированных (приведенных к точному виду) значений их функций.

Приведение к точным значениям может быть осуществлено разными способами, наиболее часто используемые из которых приведены ниже^[1].

Метод центра тяжести (Centre of Gravity) — благодаря простоте и точности вычислений он имеет наибольшее распространение. Расчет производится, но формуле.

где г/° — результат дефазификации, точное значение выходной переменной; Y — базовое пространство выходной лингвистической переменной, у е У; х (у) — функция принадлежности нечеткого множества, соответствующего выходной переменной после этапа аккумуляции.

Метод центра площади (Bisector of Area). В данном случае г/° определяется из уравнения где Min и Мах — левая и правая точки носителя нечеткого множества выходной переменной. В целях дефазификации нечетких чисел также могут использоваться методы первого, среднего и последнего максимума^[2]. В случае дискретного представления базового пространства в формулах (18.7) и (18.8) вместо интегрирования может быть использовано суммирование.

2. Подход, реализующий метод упорядочения на базе отношений. В данном случае ключевыми являются понятия нечеткого отношения и декартового произведения, определяемого на основе принципа обобщения Заде^[3].

Рассмотрим нечеткое декартово произведение (см. параграф 18.1) двух нечетких множеств, так как этого достаточно для моделирования процесса сравнения нечетких чисел.

Используя данное определение, можно построить алгоритмы, позволяющие проводить сравнение нечетких чисел. Пусть имеются два нечетких числа А{ = (3, 7, 8) и Л9 = (4, 5, б, 10) треугольной и трапециевидной формы соответственно (рис. 18.4).

Рис. 18.4. Сравнение нечетких чисел:

— Л,; Л ₂

Исходя из определения носителями множеств являются отрезки числовой прямой [3, 8] и [4, 10] соответственно. Тогда нечетким декартовым произведением множеств А{ и А., является отношение Р = А1-А2 с функцией принадлежности.

|Др () = 1Шп{цЛ1(х,), иЛ2(х>)}, V2 > е [3,8] • [4,10]. (18.9).

Декартово произведение отрезков [3,8] и [4,10] графически представлено на рис. 18.5, где через Sv S2 и 53 обозначены области прямоугольника ABCD, в которых значения множества, представленного отрезком [3, 8|, соответственно больше, меньше и равняются значениям отрезка [4, 10].

Каждой точке выделенных областей Sv S2 и 53 соответствует, согласно формуле (18.9), некоторое значение функции принадлежности. Таким образом, вопрос сравнения нечетких чисел может быть сведен к сопоставлению значений функции принадлежности рДxv х2 >), отвечающих различным выделенным областям. Итоговая степень принадлежности пары нечетких чисел каждому из возможных взаимных соотношений (равенство или превосходство одного из чисел) может быть определена как макси;

Рис. 18.5. Декартово произведение носителей нечетких чисел мальное из значений функций принадлежности рДxv х2 >) для х и х2 из соответствующей области или как некоторый интегральный показатель, обобщающий все значения лР (v х2 >) для х] и х2 рассматриваемой области.

• [1] Более подробно с указанными подходами можно ознакомиться в кн.: Алтунин А. Е., Се-мухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-воТюменского гос. ун-та, 2000. 352 с.
• [2] Более подробно с указанными методами можно ознакомиться в: Кру /лов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети: учеб, пособие. М.: Изд-вофизико-математической литературы, 2001. 224 с.
• [3] * Леоненков А. В. Указ. соч.