Методическое руководство к контрольной работе

Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам

Постановка задачи. Найти корень нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам с заданной точностью E.

Найдем отрицательный корень нелинейного уравнения 0.3x-4.9x-3.46=0 (1) с точностью E=0.01.

I. Отделим на отрезке [A; B] один из отрицательных корней уравнения (1). Для этого составим таблицу:

Условие нахождения хотя бы одного корня уравнения на отрезке [A; B] имеет вид: F (A)*F (B)<0. Очевидно, что один из отрицательных корней находится на отрезке [-4; -3], а другой — на отрезке [-1; 0].

Уточним значение корня нелинейного уравнения, находящегося на отрезке [-4; -3].

II. Алгоритм метода деления отрезка пополам.

1. Определить F (A) и F (B). Если F (A) и F (B) имеют разные знаки, то перейти к п. 2.

• — Вычислить C=, найти F©.
• — Если F (C)0 и F© и F (B) имеют разные знаки, то установить A=C и перейти к п. 2.
• — Если F© и F (A) имеют разные знаки, то установить B=C и перейти к п. 2.

Условие окончания вычислений:

=E,.

где — погрешность вычислений корня нелинейного уравнения.

III. Уточнение значения корня нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам с использованием электронных таблиц Microsoft Excel.

Составим таблицу из семи столбцов. В столбцах C и E будут находиться значения соответственно левого и правого концов отрезка приближения (точек A и B) на различных шагах итераций, а в столбце D — значения середины отрезка приближения (точки C). Столбцы F, G и H будут содержать значения функции F в левой части нелинейного уравнения: F (A), F© и F (B) соответственно. Столбец I содержит значения выражения (B-A)/2, характеризующего степень точности вычислений.

В первой строке (не считая заголовка таблицы) в ячейки C2 и E2 заносятся значения левого и правого концов отрезка в первом приближении. В ячейке D2 записывается формула =(C2+E2)/2, которая копируется на группу ячеек в столбце D. В ячейках F2, G2 и H2 записывается формула, соответствующая функции в левой части нелинейного уравнения, причем в качестве ссылки при этом фигурируют ячейки C2, D2 и E2 соответственно. Затем эти формулы копируются на группу ячеек. В ячейке I2 записывается формула =(E2-C2)/2 и также копируется на группу ячеек.

В ячейках С3 и E3 программируется логическая функция ЕСЛИ (Меню: ВставкаФункцияЛогические). Для ячейки C3 проверяемым условием является F2*G2<0. Если оно истинно, то следует C2, если ложно — то D2. Аналогично для ячейки E3 проверяется условие G2*H2<0. В случае его истинности следует E2, в случае ложности — D2. Функция ЕСЛИ также копируется на группу ячеек в столбцах C и E.

Итерационный процесс обрывается тогда, когда очередное значение в столбце I становится меньшим, чем заданный показатель точности E. При этом значение середины отрезка в последнем приближении (см. столбец D) принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения.

Итак, одним из двух отрицательных корней нелинейного уравнения 0.3x-4.9x-3.46=0, найденным с точностью E=0.01, является x=-3.633. Как мы видим, он действительно лежит на отрезке [-4; -3].