Характеристики случайных величин и процессов

В результате эксперимента с имитационной статистической моделью, состоящего из N наблюдений, мы получаем N значений исследуемой случайной величины а:

По этим данным нужно дать всестороннее описание случайной величины а.

Описать случайную величину — это значит определить ее характеристики. В общем случае.

где 0 — оценка характеристики случайной величины.

В теории вероятностей используются различные числовые характеристики, имеющие разное назначение и разные области применения. Из них на практике наиболее часто применяются начальные и центральные моменты различных порядков, каждый из которых описывает то или иное свойство распределения случайной величины.

Начальные моменты рассматриваются относительно начала координат, а центральные моменты — относительно среднего значения (математического ожидания), т. е. центра распределения.

Центральные моменты распределения порядка — это средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины.

Момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент представляет собой дисперсию.

Третий момент используется для оценки асимметрии:

Если А > 0, то асимметрия правосторонняя. Если А < 0, то асимметрия левосторонняя.

В симметричном распределении А — 0.

Четвертый момент — для оценки эксцесса:

При нормальном законе распределения вероятностей случайной величины Е = 0.

Если Е > 0, то эксцесс выше нормального (островершинная кривая).

Если Е < 0, то эксцесс ниже нормального (плосковершинная кривая).

По значению показателей асимметрии и эксцесса можно судить о близости исследуемого распределения вероятностей случайной величины к нормальному распределению.

На практике оказываются вполне достаточными следующие характеристики.

Во-первых, это характеристика величины:

• • математическое ожидание (среднее арифметическое);
• • медиана (срединное значение);
• • мода (наиболее вероятное значение);
• • среднее геометрическое и др.

В рамках задач, характерных для многих предметных областей, наиболее актуальным является математическое ожидание. Как известно, математическое ожидание определяет центр рассеивания случайной величины, наиболее полно отмечающее ее положение на числовой оси. Будем обозначать математическое ожидание случайной величины а так: М (а).

Во-вторых, это характеристики рассеивания:

• • дисперсия (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины а);
• • среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии, стандартное отклонение), иногда целесообразно пользоваться этой характеристикой, так как она имеет размерность самой случайной величины, а размерность дисперсии — квадрат размерности случайной величины;
• • размах (maxa, — mina,).

В-третьих, это характеристика связи между случайными величинами (корреляция); степень связи определяется величиной коэффициента корреляции г. В случайном процессе связь между значениями случайной функции в моменты времени t_k, t_s определяет коэффициент автокорреляции k (t_k, f_s).

В-четвертых, это характеристика закона распределения вероятностей случайной величины в виде плотности или функции распределе;

а

ния :/(а) или F (a) = J.