Оценка соответствия теоретического распределения статистическому

При обработке статистического материала часто приходится решать задачу, как подобрать для распределения, полученного опытным путем" теоретическую кривую распределения. Как правило, принципиальный вид кривой распределения выбирается в соответствии с внешним видом полигона распределения или гистограммы. Поскольку аналитические выражения теоретической кривой выбранного вида зависят от определенных параметров распределения, то задача выравнивания переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между эмпирическим и теоретическим распределением оказывается наилучшим.

Если закон распределения F (Х) генеральной совокупности неизвестен, но есть основание предполагать, что он имеет определенный вид F_T =(x), то проверяют нулевую гипотезу:

Но: F (K) = F^*(K).

Критерий, служащий для проверки гипотезы о неизвестном законе распределения, называется критерием согласия. В математической статистике предложены различные критерии согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Для проверки гипотез о законах распределения физических параметров пласта часто пользуются критериями согласия Пирсона и Колмогорова.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо [7] сделать следующее:1) вычислить непосредственно методом произведений или сумм выборочную среднюю и выборочное среднее квадратичное отклонение ;

2) вычислить теоретические частоты:

(1.59).

где n — объем выборки; h — шаг (разность между двумя соседними вариантами);

; (1.60).

3) сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого находят наблюдаемое значение критерия:

; (1.61).

— по таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы.

m = S-3.

Если — нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).

Критерий согласия А. Н. Колмогорова [6] вычисляют по формуле:

(1.62).

где — критерий согласия А. Н. Колмогорова; F — абсолютное значение максимальной разницы между теоретической и статистической функцией распределения; n — общее число определений параметра.

Свойства критерия таковы, что, если полученному значению будет соответствовать малая вероятность р (), то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением является существенным.

Таблица 1.5 Значения вероятностей P () [7].

Практически такой вывод делается при р () < 0,05.

При вероятности р ()>О, 05 теоретическое распределение считается достаточно близким к эмпирическому.

Если вероятность Р (X) мала, то выбранный теоретический закон распределения не соответствует статистическому. Тогда подыскивается другой теоретический закон распределения, который лучше соответствует статистическому распределению.