Задача о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега

Прочность и долговечность композиционных материалов во многом зависит от наличия в них дефектов в виде трещин, включений, зон предразрушения и других механических повреждений. Они представляют собой концентраторы напряжений и при дальнейшей эксплуатации материала, даже если номинальные нагрузки намного ниже предела упругости, могут привести к его локальному или полному разрушению. Такие дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе его эксплуатации, причем чаще всего из-за разности упругих свойств сред, составляющих композит, и включений. Учет наличия таких дефектов необходим для более детального описания напряженно-деформированного состояния как в окрестности наиболее опасных точек относительно возможного развития трещин, так и всего материала в целом.

К настоящему времени достаточно полно изучено влияние дефектов в виде трещин и тонких жестких включений на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала. Результаты этих исследований можно найти в монографиях JI.T. Бережницкого, В. В. Панасюка, Н. Г. Стащука [15], Н. Ф. Морозова [40], Н. И. Мусхелишвили [41], Г. Я. Попова [48], М. П. Саврука [50], Г. П. Черепанова [67, 68], Л. А. Толоконникова и В. Б. Пенькова [60], Г. А. Мораря [39] и др. Исследованию напряженного состояния однородной плоскости с тонким жестким, полностью сцепленным со средой включением посвящены статьи [87, 122]. Тонкое жесткое включение, расположенное на линии соединения разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, рассмотрено R.A. Ballarini [78], F. Erdogan и G.D. Gupta. [90], X. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [108].

Вопрос о распределении напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений изучен в работах [14, 47].

В статье A. Asundi и W. Deng [75] решена плоская задача теории упругости для анизотропной кусочно-однородной плоскости с жесткими включениями на линии соединения сред. Системе полностью сцепленных со средой тонких жестких включений в анизотропной кусочно-однородной среде посвящена работа К. Wu [125].

Задача о тонком жестком включении в однородной плоскости, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая отслоилась от среды и свободна от какого-либо контакта с ней, впервые решена Д. И. Шерманом [70] методом сингулярных интегральных уравнений. Более простое решение этой задачи получено Н. И. Мусхелишвили [41] методом краевой задачи Римана. Частично отслоившемуся от среды тонкому жесткому межфазному включению посвящены также исследования [79, 89, 94, 109]. Отслоившееся от среды вдоль одной из сторон тонкое жесткое включение, расположенное на границе соединения двух разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, к сторонам которого приложены сосредоточенные силы и момент в средней точке, рассмотрено в работе X. Markenscoff и L. Ni [107]. Пространственная задача о частично отслоившемся межфазном включении решена в статье D. Elata [88]. Частично отслоившееся включение в анизотропной плоскости рассмотрено Т.С.Т. Ting [121].

В статье В. А. Хандогина [62] рассмотрено напряженное состояние ортотропной плоскости с трещиной, нижний берег которой армирован упругой мембраной, которая упруго препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу и сдвигу. Потенциалы С. Г. Лехницкого строятся как решения двумерной краевой задачи Римана. Показано, что напряжения в вершинах дефекта могут иметь степенную особенность любого порядка от -1 до 0 в зависимости от жесткости мембраны. Аналогичная задача для изотропной плоскости решается в работе [63].

Частично сцепленное с упругой средой жесткое, криволинейное включение рассмотрено в статье Е. Е. Gdoutos и M. A. Kattis [93]. Поверхность включения может иметь любую форму, которую можно конформно отобразить на единичную окружность рациональной функцией. Задача сводится к неоднородной задаче Гильберта, решение которой дает выражения для напряжений и перемещений в среде в замкнутой форме.

В работе И. И. Ильиной и В. В. Сильвестрова [25] решается задача о тонком межфазном включении, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая контактирует с ней подобно гладкому жесткому штампу. Тонкое жесткое включение, одна сторона которого со средой не контактирует, а другая контактирует с ней как гладкий штамп, изучено в работах [39, 48]. В первой работе рассмотрена однородная плоскость. В работе C.B. Босакова [16] в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода найдены контактные напряжения в точках тонкого упругого включения в однородной упругой среде, одна' сторона которого жестко присоединена к среде, а другая отслоилась от среды и контактирует с ней при отсутствии касательного напряжения. К границе включения в упругой плоскости приложена вертикальная сосредоточенная сила. Наиболее тесно связаны с этой задачей работы [21, 49, 61]. Соответствующая антиплоская задача о тонком жестком включении в однородном упругом слое решена в [8].

Г. Я. Поповым [48] рассмотрена задача о полностью отслоившемся от среды тонком жестком межфазном включении. Случай однородной плоскости исследован Г. А. Морарем [39].

В монографии Г. А. Мораря [39] предложен метод обобщенного интегрального преобразования Фурье для описания напряженно-деформируемого состояния бесконечной пластины с тонким упругим включением при различных типах краевых условий. В работе Г. П. Черепанова [66] построено замкнутое решение смешанной задачи для однородной плоскости с прямолинейным разрезом, когда на произвольных участках обоих берегов разреза заданы перемещения или напряжения. Задача о напряженном состоянии однородной упругой среды, ослабленной круговым вырезом, на одном из берегов которого заданы смещения, а на другом — напряжения рассмотрена в статье Ь. М. Кеег [100]. Решение найдено посредством интегрального преобразования Ханкеля. В статье В. Н. Акопяна [3] изучается кусочно-однородная плоскость с трещиной, на одном берегу которой заданы напряжения, а на другом — перемещениявыведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода и построено ее замкнутое решение. В статье Т.А. Ноши1ка и Ь. М. Кеег [97] рассмотрена смешанная задача для разреза, расположенного между двумя анизотропными полуплоскостями. Методом Строха задача приведена к матричной краевой задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6×6, и путем диагонализации сведена к отдельным задачам Римана.

В работах [24, 65] решена основная смешанная задача теории упругости для однородной плоскости с коллинеарными разрезами при различных способах расположения точек смены типа граничных условий на берегах разрезов. Частный случай этой задачи изучен в работе Корзан Л. А. [31]. В статье Э.М. МкЬкапап [110] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости с трещиной, на верхнем берегу которой заданы нормальное и касательное напряжения, на отдельных участках нижней границы заданы нормальные и касательные перемещения, а между этими участками нулевые напряжения. Получена система интегро-дифференциальных уравнений, связывающих производные перемещений и напряжения на берегах трещины. Этой системе сопоставлено матричное соотношение Римана для двух голоморфных функций, являющихся интегралами Коши. Решение этой системы функциональных уравнений сведено к решению регулярной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

Вопросы контактного взаимодействия выходящих на границу или внутренних абсолютно жестких или упругих тонких включений с упругой полуплоскостью в различных постановках рассмотрены в работах [1, 2, 5, 7, 19].

В работе В. Н. Акопяна и A.B. Саакяна [4] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости, содержащей накрест лежащие четыре одинаковые разрезы, на одних берегах которых заданы смещения, а на других — напряжения. Задача математически сформулирована в виде системы двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, решение которой построено методом ортогональных многочленов Якоби. Аналогичная задача для упругой полуплоскости с краевым вырезом решена в [6].

В последние годы большую популярность получили модели межфазных включений с окаймляющими их зонами расслоения материалов (с трением и без трения). В работе [22] делается оценка влияния трения в зоне расслоения между упругим материалом и жестким включением. При этом в отличие от работы J. Shiory и К. Inoue [119], где касательное напряжение всюду в зоне расслоения считается постоянным, в этой работе приняты более реалистические условия взаимодействия между материалом и включением. Изучению процесса отслоения жесткого линейного включения от среды на участках, примыкающих к концам включения, посвящены работы Н. М. Кундрата [33 — 37]. При этом среда полагается однородной.

В работе О. Tamate и др. [120] в рамках плоской теории упругости рассматривается трещина, исходящая из концов частично отслоившихся поверхностей плоского межфазного включения малой толщины. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши, которая решается методом коллокации. В статье Ю. А. Антипова [10] изучено тонкое жесткое включение, которое под действием силы и момента, приложенных к полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслоилось вдоль нижнего берега так, что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказано, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае у сведены к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае — к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана.

Трещина, исходящая из конца жесткого прямолинейного включения под некоторым углом, изучается в работе N. Hasebe и др. [95]. Для различных значений угла' поворота трещины и ее длины исследуется поведение напряжений в вершинах включения, вычисляется угол его поворота при равномерных нагрузках на бесконечности.

Большую популярность обрела модель межфазной трещины, предложенная Comninou [83, 84], в которой для устранения осциллирующей особенности, возникающей вблизи ее вершины в классическом («открытом») случае, вводится конечная зона контакта берегов трещины у ее конца. В работах Dundurs, Gautesen [86, 91, 92], Симонова [55−57, 118], Atkinson [76], Каминский и др. [26] различными методами получены аналитические (точные и приближенные) решения для трещин с одной и двумя зонами контакта при разном внешнем нагруженииопределены длины контактных зон. В работах Ю. А. Антипова [9], Leguillon D.L. [105], В. Audoly [77] в области контакта предполагается наличие трения. В работах J. Dundurs, М. Comninou [20] и В. В. Лободы [106] доказана справедливость оценки размеров областей контакта с помощью вычисления длин тех зон, в которых перекрытие материалов предсказывается решением задачи для классической межфазной трещины. Более того, показано, что при растягивающих нагрузках длины этих зон имеют порядок 10~4.10″ 7 по сравнению с длиной самой межфазной трещины, а при сдвиговых нагрузках, напротив, могут быть очень велики (сравнимы с длиной самой трещины).

Задачи для контактных трещин между однородными анизотропными полуплоскостями решены в работах [96, 111, 112].

В работе A.A. Каминского и др. [29] в условиях плоской деформации рассматривается задача о расчете начальной зоны предразрушения вблизи конца межфазной трещины в кусочно-однородном изотропном теле.' Зона предразрушения моделируется исходящей из конца трещины под некоторым углом к границе раздела сред прямой линией разрыва нормального смещения, на которой нормальное напряжение равно заданной постоянной материала. Для контактной модели трещины эта задача решается в статье [30].

В статьях J.-B. Leblond и J. Frelat [101, 102] изучается поворот трещины, первоначально закрытой и «открывающуюся» после поворота, в однородном и кусочно-однородном упругом теле. Выводятся соотношения, связывающие между собой КИН до и после поворота. Показано, что в случае кусочно-однородного тела угол поворота зависит очень слабо от разности упругих свойств сред. Случай контактной модели трещины и случай наличия трения между ее берегами рассмотрены в [103, 104].

Изучению взаимодействия жестких остроугольных включений и трещин в однородной упругой плоскости посвящены работы [15, 82, 98, 113]. Случай неоднородной плоскости рассмотрен в статье [54]. Взаимодействие системы трещин и отслоившегося включения исследовано в статье 'А.К. Ярдухина [72]. В работе В. В. Сильвестрова [53] методом римановых поверхностей решена плоская задача о напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости с системой межфазных трещин и полностью отслоившихся от среды тонких жестких остроугольных межфазных включений под действием конечного' числа сосредоточенных сил и пар сил, расположенных как в самих средах, так и на линии раздела сред. Частный случай этой задачи, когда имеются одна трещина и одно включение, изучен в работе А. К. Ярдухина [73]. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением изучено этим же автором в статье [71].

Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучены в работах V. Boniface и N. Hasebe [80], С.К. Chao и M.N. Shen [81], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [114, 115] и др.

Что касается задачи о жестком включении, присоединенном к верхнему берегу полубесконечной межфазной трещины, то автору неизвестны какие-либо исследования в этом направлении, хотя некоторые задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость [11, 44, 45] по сути близки к поставленной в этой работе.

В данной работе решается смешанная задача линейной теории упругости для плоскости как однородной, так и кусочно-однородной с полубесконечной прямолинейной трещиной, в верхний берег которой на конечном промежутке с началом в вершине трещины вставлена жесткая накладка. Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматривается соответствующая задача для кусочно-однородной плоскости. Предполагается, что накладка прямолинейная. В § 1 ставится механическая задача, которая состоит в определении плоского напряженного состояния кусочно-однородной упругой плоскости, составленной из двух разных по упругим свойствам полуплоскостей, ослабленной полубесконечной трещиной, расположенной на линии соединения полуплоскостей. Берега трещины, за исключением конечного промежутка, к которому прикреплена жесткая накладка, свободны от напряжений. На указанном промежутке задаются смещения точек верхнего берега трещины, которые отвечают жесткому повороту накладки на некоторый угол относительно вершины трещины. На накладку действуют внешние силы, имеющие заданный главный вектор и главный момент. На бесконечности составная плоскость растягивается заданными продольными напряжениями. Решение задачи ищется в классе напряжений, которые на концах накладки могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

В § 2 с помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г. П. Черепанова [68] поставленная задача сводится к матричной краевой задаче Римана с кусочно-постоянным коэффициентом для двух функций.

Ф (г) и комплексного переменного 2. В § 3 строится каноническая матрица соответствующей однородной задачи. • Следуя методу, предложенному Л. А. Хвощинской [64], ее построение начинается с нахождения некоторого частного решения определенного вида, которое выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса. Неизвестные параметры, входящие в это решение, подбираются в соответствии с краевыми условиями поставленной задачи, так чтобы решение находилось в классе требуемых функций. После того, как найдено частное решение, каноническая матрица определяется как матрица, составленная из столбцов двух линейно независимых вектор-функций, являющихся решениями соответствующей однородной задачи, выражаемых через найденное частное решение. Данный метод, основанный на теории гипергеометрических функций, использовался ранее для решения аналогичных векторных краевых задач Римана с тремя особыми точками в работе Я.У. СгаБ1ег, Уи.У. ОЬпобоу [85] при изучении дважды периодических композиционных материалов, в задаче проникновения морской воды в прибрежный слой грунтовых вод [99], в задаче о распространении динамической трещины с конечной зоной трения Ю. А. Антиповым [74].

В § 4 приводится общее решение исходной задачи, которое определяется как произведение канонической матрицы на вектор-столбец, каждый элемент которого в общем случае представляет собой сумму многочлена с произвольными комплексными коэффициентами и интеграла типа Коши по отрезку, занимаемому накладкой. На основании этого решения установлено, что касательное и нормальное напряжения на бесконечности исчезают как.

— о о 1п/я Ц, + щк, степенные функции с показателем степени -½ + //?, ?3 =-, т = —— ^ '.

2 тс ц2 + |д, к2 /л2, к2 — упругие параметры составной плоскости), что характерно для задач о полубесконечной трещине на границе связанных полуплоскостей. Как это делается в подобных случаях, для нахождения неизвестных постоянных, входящих в решение задачи, считается заданной априори асимптотика напряжений при г -> оо. В § 5 вычисляется момент внешних сил, действующих на накладку, откуда определяется угол поворота накладки. Поведение напряжений вблизи правого конца накладки изучается в § 6. Установлено, что напряжения в этой точке ведут себя так же, как вблизи вершины жесткого штампа, вдавливаемого в упругую полуплоскость, т. е. имеют степенно-осциллирующую особенность порядка -{/2 + 1[3{, (2я-)-11п кх. При этом интенсивность напряжений вблизи правого конца накладки определяется двумя действительными параметрами (коэффициентами интенсивности напряжений). В § 7 приводится асимптотика напряжений. вблизи вершины трещины, являющейся одновременно левым концом накладки. Показано, что поведение напряжений вблизи этой точки характеризуется двумя степенными функциями г~Уо+'°2, 2Го" 1+'0', где показатели у0, <5, 5 г зависят только от упругих параметров составной плоскости и /2 < у0 < 1. Исследования показали, что при — > 0.124 показатель у0> /2 для любых значений параметров к^к2, причем в этом случае д1 = 32. Интенсивность напряжений в вершине трещины определяется четырьмя действительными коэффициентами, которые являются функционалами от исходных геометрических и упругих параметров среды, от исходных краевых условий и приложенных на бесконечности нагрузок.

Все результаты подкреплены численными расчетами, иллюстрирующими зависимость угла поворота накладки, коэффициентов интенсивности напряжений вблизи вершины трещины и правого конца накладки от ее длины, исходных силовых параметров и упругих параметров составной плоскости. Приведены графики контактных напряжений, возникающих под накладкой.

Во второй главе рассматривается задача о полубесконечной трещине с жесткой прямолинейной накладкой на верхнем берегу в однородном упругом теле. Как и в главе 1, считается, что на берегах трещины, за исключением промежутка, содержащего накладку, напряжения отсутствуют. При тех же предположениях относительно внешних нагрузок (условий на бесконечности) и поведения напряжений в окрестностях точек смены типа граничных условий, что и в первой главе, решение задачи находится методом римановых поверхностей.

В § 1 формулируются механическая и математическая задачи. Далее, в § 2 строится решение поставленной задачи, основанное на переходе из комплексной плоскости на двулистную риманову поверхность. На этой поверхности формулируется и решается в явном виде краевая задача Римана, а затем, выбирая один из листов этой поверхности, получаем решение исходной задачи на плоскости. В случае однородной плоскости касательное и нормальное напряжения исчезают на бесконечности как, осциллирующая особенность отсутствует. В § 3 — 4 исследуется асимптотика напряжений вблизи концов накладки. В отличие от задачи, рассмотренной в первой главе, в данном случае в окрестности вершины трещины, одновременно левого конца накладки, поведение напряжений характеризуется двумя степенными функциями с показателями и.

— /4 — /8, 28 — (2л-)" 11п к, где к — упругий параметр тела.

В третьей главе рассматривается кусочно-однородная плоскость с полубесконечной межфазной трещиной, усиленной частично жесткой накладкой заданной непрямолинейной формы. На верхнем берегу трещины под накладкой задается значение производной от вектора смещения, на остальной части верхнего берега и на нижнем берегу — ненулевые значения касательного и нормального напряжений. При этом полагается, что граничные условия непрерывны по Гельдеру. На все другие исходные данные задачи налагаются такие же условия, как и в главе 1. Постановка задачи приводится в § 1. В § 2 находится решение задачи методом, который применяется для решения задачи в первой главе. В § 3 вычисляется угол поворота накладки. Асимптотика напряжений вблизи концов накладки, а так же формулы для коэффициентов интенсивности напряжений приводятся в § 4. В § 5 рассматриваются два частных случая задачи.

Строятся графики угла поворота. накладки, коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений под накладкой в зависимости от формы накладки и других характеристик среды.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010), на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010), на IX молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2010), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2010), на XXXVII международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2011), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 20 082 010, руководители — профессора Сильвестров В. В., Мерлин A.B.), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (Чебоксары, 2011, руководители — профессора Ивлев Д. Д., Миронов Б.Г.).

Основные результаты, приведенные в данной работе, отражены в публикациях [126- 134].

Исследования, результаты которых составляют суть диссертационной работы, проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07−01−38, 10−01−103).

Основные выводы и результаты, полученные в данной диссертационной работе:

1. В замкнутой форме построено решение задачи о полубесконечной межфазной трещине, к верхнему берегу которой на конечном промежутке, примыкающем к вершине трещины, идеально жестко присоединена жесткая прямолинейная накладка.

2. С использованием гипергеометрической функции Гаусса построено в замкнутой форме решение матричной краевой задачи Римана с кусочно-постоянным коэффициентом на луче, служащей математической моделью указанной задачи о трещине.

3. С использованием интегралов типа Коши дано обобщение указанной выше задачи на случай криволинейной накладки.

4. Методом римановых поверхностей решена соответствующая задача о трещине в однородной упругой среде.

5. Получена аналитическая формула для угла поворота накладкиконкретными числовыми примерами изучена его зависимость от упругих характеристик среды, внешних нагрузок, длины и формы накладки.

6. Исследовано напряженное состояние среды вблизи концов накладки, получены асимптотические выражения напряжений и аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов накладки. На основе конкретных числовых примеров изучена зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от упругих характеристик среды, внешних нагрузок, длины и формы накладки.

Заключение

.