Дискретное моделирование поверхностей оболочек с учетом совокупности геометрических и статических формообразующих факторов

Решающим условием повышения эффективности общественного производства и улучшения качества продукции является ускорение темпов научно-технического прогресса. В «Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981;1985 годы и на период до 1990 года» указано на необходимость «улучшить проектно-сметное дело, осуществлять строительство по наиболее прогрессивным и экономичным проектам., расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники». С каздым годом увеличиваются в нашей стране объемы проектно-конструкторских работ, укрупняются масштабы объектов строительства, возрастает их сложность. С ростом выпуска промышленных изделий и увеличения их ассортимента увеличивается объем конструкторских работ, связанных с проектированием сложных технических форм. Задачей первостепенной важности является ускорение процесса проектирования на базе максимального использования электронно-вычислительной техники и автоматизации проектно-конструкторских работ.

Особенно важная роль при проектировании архитектурно-строительных сооружений и промышленных изделий сложных криволинейных форм отводится начальному этапу проектирования, когда учет предъявляемых к геометрической форме требований вызывает необходимость многовариантных решений, наиболее эффективно осуществляемых посредством интенсивного применения ЭВМ с широким использованием средств взаимодействия человека с вычислительной машиной в процессе их диалога. Оптимизационные задачи проектирования, которые можно решить средствами прикладной геометрии, способны дать ощутимый эффект в экономиии труда, материалов, в улучшении функциональных, конструктивных и эстетических характеристик проектируемых сооружений [74]. В области геометрических методов проектирования поверхностей основополагающими являются исследования ведущих советских ученых: профессоров Г. С. Иванова, И. И. Котова, В. Е. Михайленко, В. А. Осипова, А. В. Павлова, А. Л. Подгорного, Н. Н. Рыжова, А. М. Тевлина, П. В. Филиппова, С. А. Фролова, Н. Ф. Четверухина, В. И. Якунина [52−55, 68−74, 79−81, 83−87, 92, 93, 102, 105 ], доцентов С. Н. Ковалева, В. С. Обуховой, Н. И. Седлецкой и др. [41−47, 72, 95 ] .

В большинстве случаев конструируемая поверхность должна удовлетворять наперед заданным условиям, часто конкурирующим между собой. К числу факторов, оказывающих существенное влияние на форму поверхности, следует отнести критерий эстетической оценки проектируемого объекта, отождествляемый с замыслом архитектора или дизайнера. Свода же необходимо отнести рад факторов статического и динамического характера, непосредственно влияющих на функциональные и конструктивные характеристики сооружения, например, собственный вес, снеговые и ветровые нагрузки, воздействующие на покрытие, и т. п. В последние годы много внимания уделяется исследованию зависимостей между геометрическими и эстетическими характеристиками конструируемых форм [43, 70]. Множество работ посвящено расчетам строительных и архитектурных сооружений на воздействие переменных нагрузок [7, 8, 14, 34, 36, 57, 58, 91, 115−117].

При проектировании оболочек применяется, как правило, следующая последовательность: выявляется форма оболочки по наперед заданным условиям архитектурно-планировочного характера и эстетических характеристик, а факторы статического и динамического воздействия на оболочку учитываются в процессе прочностного расчета конструкции, когда на форму поверхности они уже влияния не оказывают.

В появившихся в последние годы работах В. Е. Михайленко,.

В.Н.Кислоокого, С. Н. Ковалева и их учеников [10, 29, 41−47, 49, 68, 69, 71, 87] вопросы учета силовых воздействий, возникающих в элементах конструкции, рассматриваются на стадии геометрического моделирования. Такой подход к проектированию поверхностей покрытий создает предпосылки комплексного решения задачи построения оптимальной формы, обладающей желаемыми статическими характеристиками, уже на стадии формообразования, а метод дискретного моделирования, эффективно применяемый в исследованиях, имеет ряд неоспоримых преимуществ при проектировании сборных оболочек, прочностных расчетах конструкций. Дискретизация поверхности удобна для реализации на ЭВМ, что особенно важно при решении задач моделирования сложных криволинейных форм.

В работах [41, 42, 44, 46 ] рассмотрена идея комплексного учета нескольких формообразующих факторов, однако ее возможности выявлены далеко не полностью. Тем более, не осуществлена автоматизация целого рада задач, решение которых возможно на основе реализации этой идеи. В работах учеников С. Н. Ковалева, касающихся вопроса совместного учета формообразующих факторов, последние не отличаются разнообразием, а носят в основном родственный характер. Так, в исследованиях [40, 41] при паркетировании оболочек уравнивание сторон и диагоналей типоэлементов осуществляется посредством условных сил, но статические особенности формы не учитываются. В работе [29] учитываются только статические факторы /вес элементов оболочки/, а метрические не учтены. В исследованиях Н. Д. Колупаевой [49] при проектировании тентовых покрытий учитываются статические и метрические факторы, однако рассматривается только такая метрика, которая может быть выражена через реальные, а не условные силы.

В диссертационной работе рассматривается процесс формообразования поверхностей оболочек, аппроксимируемых пространственными стержневыми системами /сетями/, на узловые точки которых воздействуют усилия, выступающие в роли формообразующих факторов. Эти усилия могут быть как реальными — например, внутренние напряжения в стержнях, собственный вес элементов покрытия, воздействие на сооружение снеговой и ветровой нагрузок и т. п., так и условными — метрически связанными со значениями координат проектируемой поверхности. Предлагаемый в работе способ аппроксимации экспериментальных данных по принципу самоуравновешенной стержневой системы обладает тем преимуществом, что условные силы, функционально связанные со значениями координат поверхности и выступающие в роли формообразующего фактора, могут быть использованы в задачах дискретного моделирования при совместном учете нескольких факторов, представленных в виде усилий — как реальных, так и условных. Это обеспечивает возможность управления создаваемой формой, чего не позволяют делать известные методы аппроксимации и интерполяции /метод наименьших квадратов, кривых второго порядка, родственных дуг, сплайн — функций и т. д./ в силу их жесткой связи с подлежащими аппроксимации величинами [61, 100] .

Учет геометрических факторов, связанных с эстетикой формы, предполагает конструирование поверхности, соответствующей замыслу архитектора, когда в процессе проектирования используется поверхность архитектурного макета или эскизные варианты поисковых форм [60, 94]. Благодаря существенно важному фактору наглядности, объемное макетирование поверхностей способствует более рациональному решению композиционных задач на начальной стадии проектирования. В настоящее время без макетирования не обходится ни одна проектная организация [64]. В процессе проектирования архитектурный макет используют проектные организации ЛенНИИпроект, Лен.

ЗШИЭП, КиевЗНИЮП и др. Широко используется объемное макетирование и в художественном конструировании промышленных форм [66, 106]. Оно особенно эффективно при поиске оптимальных проектных решений, многовариантной их проработке, конструировании геометрической формы, от совершенства которой в значительной степени зависят эстетические качества сооружения. Дополнительные затраты на изготовление макета окупаются повышением качества проектирования, сокращением его сроков и уменьшением объема проектной документации [60, 64, 67 ] .

Возможности электронно-вычислительной техники позволяют проектировщику эффективно решать задачи поиска оптимальных вариантов конструируемой поверхности, во многих случаях используя поверхность макета в качестве исходной. Получив в результате обмера макета дискретный /точечный/ каркас поверхности, можно путем аппроксимации экспериментальных данных построить теоретическую поверхность, в той или иной степени близкую к исходной.

Задача составления теоретического чертежа поверхности с использованием архитектурного макетирования включает в себя измерение координат /получение дискретного каркаса/ поверхности макета, упорядочение результатов измерения — аппроксимацию и сглаживание экспериментальных данных, вывод результатов решения в требуемой форме — графической или аналитической. Эффективность решения поставленной задачи зависит от рада факторов и в первую очередьот степени автоматизации стадий проектирования, начиная с обмера макета и заканчивая выводом чертежно-графической информации посредством графических устройств.

Получение теоретической поверхности по результатам обмера макета может носить характер самостоятельной задачиее же можно рассматривать как составную часть комплексной задачи оптимизации, в которой приближенность конструируемой поверхности к исходной /макету/ служит одним из факторов формообразования.

Неограниченное разнообразие архитектурно-строительных сооружений и промышленных форм обусловливает соответствующее многообразие макетов проектируемых объектов. Наряду с разнообразием формы, зависящей от геометрии макетируемой поверхности, практически неограниченным является выбор материала для изготовления макетов, от физико-механических свойств которого в той или иной мере зависит способ обмера макетируемой поверхности. Используемые для изготовления макетов различные материалы: металл, дерево, стекло, пластмассы, гипс, глина, пластилин, бумага, ткань, мыльные растворы и др. — определяют характерные особенности макета, существенно влияющие на точность выполнения геометрической модели поверхности, способ и точность измерения ее параметров, а также на возможность автоматизации процесса обмера [78]. Различные материалы и способы исполнения макетов требуют не менее разнообразных методов и приемов измерения координат макетируемой поверхности. Получение дискретного каркаса поверхности макета связано с решением многих задач, включающих достижение высокой точности измерения, быстродействие измерительной аппаратуры, автоматизацию системы измерения и исключение участия человека в измерительной цепи с присущей ему субъективностью восприятия измеряемой величины [II] .

При измерении параметров поверхности используются как контактные, так и бесконтактные /дистанционные/ способы обмера, в зависимости от вида измерительного устройства и физических свойств измеряемого объекта [II," 40]. Основанные на бесконтактном способе измерительные устройства находят широкое применение в автоматизированных измерительных системах [88]. Применение таких систем при обмере макета с целью получения дискретной информации о поверхности сокращает до минимума затраты времени на измерения.

В современной метрологии все большее значение приобретает использование средств автоматики, электроники и счетно-решающей техники [23, 65]. Известные с давних пор координатно-измеритель-ные машины /КИМ/, снабженные специально разработанными ЭВМ, получили в последнее время новое развитие [2, 23]. Известны автоматические измерительные устройства со сканированием световым лучом. Применяемый в таких устройствах лазерный луч с его высокой разрешающей способностью позволяет производить практически точечные измерения [з, II]. Применительно к процессу обмера макета целесообразной является комплексная схема измерения, когда за один прием /одно измерение/ получают набор координат точек — дискретный каркас всей измеряемой поверхности или ее отсека.

Задача аппроксимации результатов обмера на этапе формообразования заключается в создании теоретической поверхности, которая должна нести гораздо больше информации о проектируемом объекте, чем результаты обмера с присущими им недостатками: неполнотой /отсутствием данных в недоступных или труднодоступных для обмера местах/, неупорядоченностью, погрешностями измерений и т. п., устранение которых может быть осуществлено предлагаемым в работе аппаратом дискретного моделирования.

Обмер макета дает информацию о желаемой поверхности архитектурной или технической формы. Однако, интуитивно заданная архитектором, она не всегда является наилучшей с точки зрения функционально-конструктивных и прочностных характеристик. Выбором оптимальной формы, учитывающей воздействующие на нее силовые факторы, могут быть обеспечены лучшие эксплуатационные качества при наименьшей материалоемкости конструкции. В частности, на архитектурные сооружения влияют различные нагрузки постоянного и переменного характера: собственный вес конструкции, снеговые и ветровые нагрузки. Учет снеговой и ветровой нагрузок, воздействующих на строительные сооружения, в процессе формообразования поверхности создает предпосылки конструирования рациональной формы, обладающей хорошими статическими характеристиками. Предлагаемая в диссертационной работе методика геометрического моделирования поверхности предполагает использование известных результатов исследований по определению воздействия снеговых и ветровых нагрузок на поверхность покрытия с геометрической интерпретацией и представлением их в качестве формообразующих факторов.

Вопросам определения снеговых и ветровых нагрузок, воздействующих на строительные сооружения и принимаемых во внимание в процессе прочностных расчетов последних, посвящено много работ отечественных и зарубежных авторов [8, 31, 36, 37, 39, 67, 82,89, 115−117]. Рекомендации по учету переменных нагрузок при расчете строительных сооружений приводятся в СНиП [96]. Следует отметить однако, что в СНиП отсутствуют рекомендации по определению снеговых и ветровых нагрузок на сложные геометрические форды. Многочисленные исследования в этой области охватывают небольшой перечень поверхностей, традиционно применяемых в качестве элементов строительных сооружений, что объясняется большой сложностью или в большинстве случаев невозможностью аналитического определения снеговых и в особенности ветровых нагрузок, воздействующих на покрытия. Соприкосновение таких малосвязанных между собой областей, как метеорология, строительство и аэродинамика обусловливает определение снегового и ветрового воздействия опытным путем! 8, 31 ]. Так как объем снегового покрова на криволинейных поверхностях в большой мере зависит от действия ветра — его скорости и направления, исследования по определению снеговых нагрузок проводятся на моделях с имитацией снегового покрова подходящим для этой цели материалом /напр., древесной мукой/ и испытанием моделей в аэродинамической трубе? 8″, 37 ]. Еще в большей степени это относится к ветровой нагрузке: определение аэродинамического коэффициента, характеризующего значение ветрового усилия, осуществляется, как правило, опытным путем, с использованием аэродинамической трубы. 39, 89, 107]. В работах В. А. Отставнова, Н. К. Еуковой, О.Г.Сула-беридзе, К. А. Бабаевой и др. при исследовании вопроса определения снеговой и ветровой нагрузок на пространственные покрытия использовались преимущественно модельные испытания, на основе которых получены эмпирические формулы для определения значений нагрузок в зависимости от схемы нагружений, обусловленных видом поверхности и направлением ветра. В большинстве случаев по результатам испытаний строятся расчетные схемы /эпюры/ для определения значе-. ний коэффициентов давления снега и аэродинамических коэффициентов. Так, на рисунках 0.1 и 0.2 изображены схемы нагружений, рекомендуемые СНиПом при расчетах сводчатых поверхностей на действие снеговой /рис.0.1/ и сферических/рис.0.2/ - на действие ветровой нагрузок. На рис. 0.3 представлены. результаты испытаний модели покрытия в аэродинамической трубе, выполненных в Грузинском политехническом институте [39]. По полученным изодинамам построены эпюры распределений давления ветра в характерных сечениях /совпадающих с направлением ветра и проходящих через центр плана/, выражающие средние значения аэродинамических коэффициентов сср. в зависимости от угла наклона ос испытуемой поверхности к направлению ветрового потока.

По результатам модельных испытаний получены диаграммы снеговых и ветровых нагрузок на поверхности оболочек положительной двоякой кривизны, гиперболических параболоидов, катеноидов и др. piac. 0.2.

8, 37, 82, 90, 107]. Интенсивные исследования в этой области, которые проводятся в нашей стране и за рубежом [108], дают основание полагать, что в недалеком времени появятся рекомендации по определению этих нагрузок для более широкого круга поверхностей.

Предлагаемый в диссертационной работе способ геометрического моделирования поверхностей с использованием переменных нагрузок в качестве формообразующих факторов ставит задачу получения на этапе формообразования формы оболочки, в определенной мере учитывающей требования прочностной оценки. Учетреальных усилий, оказывающих влияние на форму поверхности, создает возможность определения ряда оптимальных параметров покрытия: собственного веса оболочки, ее толщины, конфигурации типоэлементов и т. п., а также назначения соответствующих строительных материалов уже на стадии формообразования. Комплексный учет нескольких формообразующих факторов с применением весовых коэффициентов позволяет решать задачи оптимизационного характера, создания формы, наиболее полно удовлетворяющей требованиям превалирующего критерия формообразования, т. е. решать задачи управления формой.

Создание аппарата автоматизированного геометрического моделирования с широким использованием оперативного и наглдцного представления результатов формообразования в диалоговом режиме человек — ЭВМ обеспечивает эффективность решения задач формообразования, являющихся важным звеном процесса проектирования современных архитектурно-строительных сооружений. В последние годы очень интенсивно ведутся исследования и разработки в области создания систем автоматизированного проектирования /САПР/, внедрение в проектную практику, которых предполагает полную автоматизацию труда проектировщиков. Решению задач в архитектурно-строительном проектировании с созданием и использованием соответствующего программно-технологического комплекса, многоплановым исследованиям в области современных методов и средств диалога человек — ЭВМ посвящены работы многих советских и зарубежных авторов[4−6, 9, 12, 15, 19, 21, 22, 33, 35, 38, 52, 54, 76, 77, 94, 98, 99, 113]. Комплексное внедрение средств современной вычислительной техники в архитектурное проектирование коренным образом изменяет представление о методах проектирования, еще несколько десятилетий назад считавшихся незыблемыми. Созданием и использованием алгоритмов автоматизированной подсистемы проектирования в процессе геометрического моделирования обусловливается его эффективность и качество.

На основании вышеизложенного можно утверждать, что задача геометрического моделирования поверхностей с учетом ряда формообразующих факторов, решаемая в системе автоматизированного проектирования, является актуальной.

В диссертационной работе поставлена цель: создание дискретных моделей оболочек, позволяющих учитывать совокупность геометрических факторов и факторов статического и динамического воздействия на оболочку кап формообразующих. Для достижения сформулированной цели в диссертации ставятся следующие задачи исследования:

— разработать принципы аппроксимации экспериментального набора точек упорядоченной дискретной сетью на основе самоуравновешенной шарнирно-стержневой системы применительно к решению задачи упорядочения и перезадания набора точек дискретной сетью с наперед заданными условиями;

— обобщить способ аппроксимации набора точек для полярных систем координат с целью получения дискретных аппроксимирующих моделей замкнутых поверхностей;

— исследовать возможность учета снеговых и ветровых нагрузок как формообразующих при конструировании поверхностей оболочек;

— разработать принципы построения рациональной формы оболочки с комплексным учетом статических и геометрических факторов в различных сочетаниях и с различными весовыми коэффициентами;

— на основе принципов симметризации исследовать возможность конструирования симметричных поверхностей оболочек, формирующихся под воздействием совокупности постоянных и переменных нагрузок;

— создать аналитические алгоритмы перечисленных задач;

— показать возможность автоматизированного решения поставленных задач;

— результаты исследований внедрить при решении конкретных задач конструирования архитектурных и технических форм.

При решении задач, поставленных в работе, использовались методы начертательной, аналитической, дифференциальной и проективг-ной геометрии, вычислительной математики, средства вычислительной техники и машинной графики.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы аппроксимации дискретной информации о поверхности посредством упорядочения экспериментальных данных, полученных в результате обмера макета, на основе построения пространственной сети по принципу саг-моуравновешенной шарнирно-стержневой системы.

Во второй главе разработаны принципы формообразования поверхности оболочки с учетом переменных нагрузок /снеговой и ветровой/, выступающих в роли формообразующих факторов. Рассмотрен вопрос симметризации формы.

В третьей главе изложены вопросы построения рациональной поверхности, учитывающей совместное воздействие нескольких факторов формообразования, вклад каждого из которых в создаваемую форму определяется его весовым коэффициентом, т. е. решается задача управления формой поверхности в процессе геометрического моделирования. Представлена структура программного обеспечения автоматизированного решения задач проектирования. Здесь же излагаются вопросы практического внедрения результатов исследований.

Новым теоретическим результатом, полученным в диссертации, является:

— способ конструирования поверхности оболочки по принципу аппроксимации точечного каркаса упорядоченной дискретной сетью на основе самоуравновешенной шарнирно-стержневой системы:

— решение задачи формообразования оболочки покрытия как функции от действия совокупности постоянных и переменных нагрузок;

— способ представления формообразующих факторов, позволяющий осуществлять совместное решение разнотипных задач формообразования;

— алгоритмы конструирования поверхностей оболочек архитектурных и технических форм, реализуемые в пакете программ автоматизированного проектирования.

Настоящая работа выполнялась в соответствии с целевой Научно-технической программой Госстроя УССР на XI пятилетку, в частности, с разделом 07.02.01 программы, в котором сказано: «Разработать на основе теории пластичности прочности и устойчивости предложения по выбору расчетных схем и рекомендуемых методов расчета зданий и сооружений массового применения», а также в соответствии с госбюджетной научно-исследовательской темой кафедры начертательнойгеометрии и черчения Киевского инженерно-строительного института: «Разработка, исследование и применение геометрического моделирования алгоритмов машинной графики в системах автоматизированного проектирования» .

Практическая ценность исследований, выполненных в работе, состоит в том, что методика геометрического моделирования и разработанный на ее основе пакет программ автоматизированного проектирования позволяют решать задачи поиска рациональной формы поверхности, уменьшают трудоемкость процессов конструирования и дают возможность реализовать их выполнение с помощью вычислительных комплексов.

На защиту выносятся:

— способ конструирования поверхности оболочки по принципу аппроксимации точечного каркаса упорядоченной дискретной сетью на основе самоуравновешенной шарнирно-стержневой системы;

— способ аппроксимации набора точек с использованием цилиндрической и сферической координатных систем с целью получения аппроксимирующих моделей замкнутых поверхностей;

— способ конструирования поверхностей оболочек с учетом переменных /снеговых и ветровых/ нагрузок в качестве формообразующих факторов;

— принципы построения рациональной формы оболочки с учетом статических и геометрических факторов в различных сочетаниях.

Основное содержание диссертации опубликовано в 4-х работах [24−27], доложено и обсуздено на 42−45-й научно-технических конференциях Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института /1981;1984 гг./, на научном семинаре при кафедре начертательной геометрии и графики Киевского ордена Ленина политехнического института им.50-летия Великой Октябрьской социалистической революции /1984 г./.

Результаты исследований внедрены:

— при проектировании поверхности покрытия Зеленого театра в г. Львове;

— при конструировании криволинейных поверхностей кузова автомобиля /Луцкий автомобильный завод/;

— в учебный процесс Луцкого филиала Львовского политехнического института.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы /117 наименований/ и приложения. Работа содержит 112 страниц машинописного текста, 57 рисунков, 29 таблиц.

Выводы по третьей главе.

1. Сформулированы три возможных принципа построения рациональной формы с учетом геометрических и статических факторов формообразования.

2. Синтез принципов дискретной аппроксимации результатов обмера макета и образования упругих сетей на основе их статической трактовки позволил решить задачу упорядочения и перезадания набора точек дискретной сетью с наперед заданными характеристиками.

3. Показана возможность поиска рациональной формы оболочки по многим критериям с учетом их весового значения. Введенные весовые коэффициенты исследованы также как параметры управления формой. Автоматизация вычислительных работ на основании использования программно-вычислительного комплекса создает предпосылки эффективной реализации алгоритмов решения.

4. Результаты теоретических исследований внедрены при конструировании поверхности покрытия Зеленого театра в г. Львове и криволинейных поверхностей автомобиляДуАЗ-969 на Луцком автомобильном заводе, а также в учебный процесс Луцкого филиала Львовского политехнического института.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В соответствии с поставленной целью, в диссертации разработаны геометрические модели поверхностей оболочек, позволяющие учитывать совокупность факторов статического и динамического воздействия с учетом приближения к желаемой форме поверхности, заданной в виде макета. Параллельно рассмотренная статическая и геометрическая интерпретация этих факторов позволила сблизить и совместно учесть физические нагрузки и такой чисто геометрический фактор, как форма макета оболочки. Статическая интерпретация данных о форме макета достигнута за счет моделирования поверхности самоуравновешенной шарнирно-стержневой системой под воздействием условных нагрузок, порождаемых разностью координат точек /узлов/ исходной и аппроксимирующей дискретных моделей. Геометрическая интерпретация статических нагрузок основана На установлении функциональной зависимости между векторами воздействующих усилий и координатами узлов моделирующей сети. В соответствии с поставленными задачами исследования получены следующие результаты:

1. Разработаны принципы аппроксимации экспериментального набора точек упорядоченной дискретной сетью на основе самоуравновешенной шарнирно-стержневой системы. Синтез этих принципов и способа образования упругих сетей позволил решить задачу упорядочения и перезадания набора точек дискретной сетью с наперед заданными характеристиками.

2. Выполненное обобщение способа аппроксимации набора точек для полярных систем координат позволило получить дискретные аппроксимирующие модели замкнутых поверхностей.

3. Исследование вопроса распределения и дискретизации переменных снеговых и ветровых нагрузок и их геометрическая интерпретация позволила учитывать их как формообразующие при формировании поверхности оболочки.

4. Сформулированы возможности построения рациональной формы оболочки с учетом статических /собственный вес, снеговая и ветровая нагрузки/ и геометрических /форма макета/ факторов в различных сочетаниях и с различными весовыми коэффициентами.

5. Использование принципов симметризации геометрической формы позволило создать способ конструирования симметричных поверхностей оболочек, формирующихся под воздействием совокупности постоянных и переменных нагрузок.

6. Созданы аналитические алгоритмы перечисленных задач.

7. Разработан пакет программ автоматизированного вычислительного комплекса, реализующего решение поставленных задач.

8. Результаты теоретических исследований внедрены при конструировании поверхности покрытия Зеленого театра в г. Львове, а также криволинейных поверхностей автомобиляЛуАЗ-969 на Луцком автомобильном заводе с ожидаемым экономическим эффектом около 10 тыс. рублей в год. Методика дискретного моделирования поверхностей оболочек внедрена в учебный процесс Луцкого филиала Львовского политехнического института.