Нелинейные алгоритмы цифровой обработки изображений на основе порядковых статистик и полиномиальной фильтрации

Актуальность темы

В настоящее время ставшие классическими методы линейной фильтрации нашли широкое применение в различных областях науки и техники. В то же время использование теории линейной фильтрации не позволяет получить приемлемое решение в ряде практически важных приложений. Известно, например, что задача оптимальной фильтрации сигналов и изображений допускает решение в классе линейных фильтров только в том случае, когда сигнал и аддитивная помеха независимы и имеют нормальное распределение. В действительности помеха может зависеть от полезного сигнала или иметь закон распределения, отличный от нормального. В этих случаях оптимальное решение следует искать в классе нелинейных фильтров [4, 27,21,33].

Постоянно увеличивающийся интерес к нелинейным средствам обработки изображений обусловлен рядом причин. Прежде всего, система визуального восприятия человека по своей сути является нелинейной [32]. Необходимо также учитывать нелинейное поведение систем регистрации и формирования изображений.

В отличие от теории линейной фильтрации, построение единой теории нелинейной фильтрации вряд ли возможно [34]. Наиболее известными классами нелинейных фильтров являются гомоморфные фильтры [65]- морфологические фильтры [69]- нейронные фильтры [75, 35]- фильтры, основанные на порядковых статистиках [51, 55]- полиномиальные фильтры [58, 61, 34]. Данная классификация, не претендуя на полноту, демонстрирует лишь многообразие видов нелинейной фильтрации. Каждый из перечисленных классов имеет свои преимущества и область применения. Некоторые направления, такие, как гомоморфная' фильтрация, имеют достаточно долгую историю. Другие направления появились сравнительно недавно и активно разрабатываются в настоящее время. К таким новым направлениям в области обработки изображений относятся цифровая полиномиальная фильтрация и фильтрация, основанная на порядковых статистиках.

Благодаря нелинейному характеру самих процессов передачи, кодирования и восприятия информации, а также из-за ограничений, присущих линейным операторам, наблюдается постоянно увеличивающаяся потребность в разработке и внедрении нелинейных алгоритмов при решении-целого ряда задач обработки изображений, таких, как удаление шума, повышение четкости изображения, увеличение изображения, распознавание текстуры изображения [25]. Решению данных задач посвящены работы Виттиха В. А. [2], Дегтярева С. В. [6], Кузнецова Н. А. [47], Ланнэ А. А. [9], Садыкова С. С. [16], Сергеева В. В. [2], Сойфера В. А. [2], Щербакова М. А. [33], Ярославского J1. П. [37], Dudgeon D. [5], Gonzalez R. [4], Jahne В. [54], Mitra S. К. [38, 61, 59], Mersereau R. [5], Pitas I. [65], Prett U. [12], Ramponi G. [15], Shafer R. [11], Sicuranza G. [58], Woods R. [4] и др. В то же время возможности фильтров, основанных на порядковых статистиках и традиционно используемых для удаления импульсного шума, до конца не изучены. Использование цифровых полиномиальных фильтров сдерживается недостатком доступных и простых методов их проектирования. В связи с этим актуальными являются исследование возможностей данных видов нелинейной фильтрации для решения типовых задач обработки изображений и разработка эффективных методов их анализа и синтеза.

Цель работы состоит в разработке и модификации алгоритмов нелинейной фильтрации, основанных на порядковых статистиках и полиномиальных разложениях, для повышения эффективности решения типовых задач цифровой обработки изображений.

В соответствии с поставленной целью основными задачами настоящей диссертационной работы являются:

— разработка способов математического описания и анализ свойств полиномиальных фильтров и класса фильтров, основанных на порядковых статистиках;

— разработка и исследование алгоритмов удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображений;

— анализ возможностей и разработка фильтров, основанных на порядковых статистиках, для решения задачи увеличения изображения;

— разработка нелинейных алгоритмов повышения четкости изображения, основанных на порядковых статистиках и полиномиальных разложениях;

— разработка способов анализа и синтеза изотропных полиномиальных фильтров в частотной области.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, теории чисел, функционального анализа, линейной алгебры, аналитической теории нелинейных систем. Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием математических пакетов Ма1:1аЬ, МаШепШюа и Ма1:1аСас1.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— разработан нелинейный алгоритм удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображения, использующий нечеткую логику и позволяющий уменьшить уровень шума более чем в 3 раза по сравнению с медианной фильтрацией;

— доказана эффективность использования медианной интерполяции для решения задачи увеличения изображения, применение которой позволяет существенно уменьшить «эффект ступенчатости»;

— получены аналитические и матричные представления многомерной полиномиальной фильтрации во временной и частотной областях, позволяющие решить задачу оптимальной полиномиальной фильтрации по среднеквадратическому критерию качества;

— разработаны способы анализа и синтеза двухмерных изотропных полиномиальных фильтров на основе использования базисных функций в частотной области, и показана эффективность их использования для увеличения четкости изображений.

Практическая значимость исследования. Полученные в диссертации теоретические и практические результаты позволяют существенно расширить возможности и повысить эффективность методов цифровой обработки изображений, а разработанные нелинейные алгоритмы дают возможность более эффективно решать типовые задачи обработки изображений по сравнению с методами линейной фильтрации. Модули программ, разработанные автором с использованием среды МаНаЬ, легко интегрируются в современные информационные системы и графические редакторы. На защиту выносятся:

— алгоритмы удаления импульсного шума фильтрами, основанными на порядковых статистиках и нечеткой логике;

— алгоритм увеличения изображения на основе взвешенной медианной фильтрации;

— описание свойств симметрии изотропных полиномиальных фильтров с помощью классов эквивалентности и способ их синтеза на основе аппроксимации ядер с помощью базисных частотных функций, соответствующих данным классам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международном симпозиуме «Надежность и качество», г. Пенза, 2006, 2007 гг.- Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики», г. Сочи, 2006 г.- Международной конференции' «Цифровая обработка сигналов и ее применение», г. Москва, 2007 г.- Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», г. Пенза, 2007, 2008 гг.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 13 научных трудах, из которых 3 статьи — в журнале из перечня ВАК. Зарегистрированы 2 программы для ЭВМ в отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП).

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Она содержит 1 страниц основного текста, 32 рисунка, 7 таблиц.

Основные результаты и выводы.

1 Синтез нелинейных фильтров должен выполняться для заданного класса входных сигналов, в качестве которых могут быть использованы синусоидальные воздействия, позволяющие так же, как и в линейном случае, существенно упростить анализ и синтез полиномиальных фильтров в частотной области.

2 Предложен способ описания свойств проектируемого фильтра на основе сечений ядер в частотной области, характеризующих вклад различных комбинационных составляющих в суммарную реакцию фильтра на заданной частоте. Требования, предъявляемые к сечениям ядер в частотной области, могут быть преобразованы в эквивалентные условия относительно импульсных характеристик фильтра во временной области, необходимые для его практической реализации.

3 Рассмотрены свойства симметрии двухмерных изотропных фильтров, инвариаитных относительно изменения ориентации входного изображения. Разбиение множества коэффициентов изотропного полиномиального фильтра на классы эквивалентности позволяет существенно уменьшить число степеней свободы при проектировании фильтра и упростить его реализацию.

4 Предложен метод синтеза двухмерных изотропных фильтров, основанный на аппроксимации ядер полиномиального фильтра с помощью базисных частотных функций, соответствующих отдельным классам эквивалентности. С помощью данного метода синтезирован квадратичный дифференцирующий оператор, обладающий свойством круговой симметрии, рассмотрены его свойства и использование для контрастирования изображений.

5 Синтез оптимальных полиномиальных фильтров по среднеквадратическому критерию качества можно рассматривать как задачу минимизации квадратичной функции при линейных ограничениях, обеспечивающих заданную реакцию фильтра при определенных воздействиях. Данная задача имеет единственное решение, которое достигается за один шаг из любой начальной точки. Рассчитанный методами оптимизации квадратичный фильтр с маской 3×3 показал большую устойчивость к шумам по сравнению с известным оператором Собела, являющимся одним из наиболее эффективных среди известных детекторов перепада.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1 Разработаны способы математического описания и анализа свойств полиномиальных фильтров и класса фильтров, основанных на порядковых статистиках. Показана взаимосвязь цифровой полиномиальной фильтрации с многомерной линейной фильтрацией.

2 С использованием лексикографического упорядочения нелинейных импульсных характеристик многомерные полиномиальные фильтры представлены в матричной форме, линейной относительно вектора коэффициентов фильтра. Свойство симметрии импульсных характеристик фильтра относительно различных перестановок аргументов позволяет в значительной степени уменьшить размерность вектора коэффициентов фильтра.

3 Разработаны и реализованы алгоритмы удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображения, позволяющие существенно уменьшить уровень шума по сравнению с традиционной медианной фильтрацией. Использование нечеткой логики в SD-ROM фильтре позволяет уменьшить среднеквадратичную ошибку в 3 раза по сравнению с медианной фильтрацией.

4 Предложен алгоритм увеличения изображения с использованием медианной интерполяции, при котором существенно уменьшается «эффект ступенчатости» и в то же время сохраняются границы деталей изображения.

5 Показана возможность использования медианной фильтрации в нелинейных операторах повышения четкости изображения, позволяющая достичь компромисс между уменьшением уровня шума и выделением границ деталей изображения.

6 Получены условия изотропности, и предложен способ синтеза двухмерных полиномиальных фильтров, инвариантных относительно ориентации входного изображения. Исследованы особенности действия синтезированных нелинейных операторов и их использование для контрастирования изображений. 7 Синтезирован оптимальный полиномиальный фильтр по среднеквадратическому критерию качества. Рассчитанный методами оптимизации квадратичный фильтр с маской 3×3 показал большую устойчивость к шумам по сравнению с известным оператором Собела, являющимся одним из наиболее эффективных среди детекторов перепада.