Применение метода контурного интегрирования в задачах о распространении волн в анизотропной полуплоскости

В диссертации рассматриваются нерешенные проблемы в теории распространения упругих волн в анизотропном полупространстве при действующей на него бесконечной полосовой нагрузки, не зависящей от одной из координат. Применен метод контурного интегрирования, позволивший решить указанную задачу и определить волновые поля как в области действия нагрузки, так и вне нее, а также провести анализ процессов распространения энергии в анизотропном полупространстве.

Изучение процессов распространения волн в упругом изотропном полупространстве при действии на его поверхность нормальной сосредоточенной силы было начато Лэмбом еще в1904 г.([53]). После его классической работы, в которой рассмотрен не только стационарный, но и нестационарный режим, задаче Лэмба посвящались многие работы.

В настоящее время получено и достаточно хорошо изучено решение задачи изотропной теории упругости о распространении упругих волн, вызванных гармоническими источниками, расположенными на «дневной» поверхности полупространства. Эти источники носят различную природу, начиная от сосредоточенной силы и заканчивая наиболее сложными задачами теории упругости, когда источниками волн служат массивные тела конечных размеров.

Обзор постановок задач и полученных результатов в этой области, когда на дневной поверхности полупространства действуют напряжения, дан в монографии Гринченко В. Т., Мелешко В. В. [19]. В ней же достаточно подробно изучается задача Лэмба для упругой изотропной полуплоскости при действии на нее нормальных напряжений. Используя метод контурного интегрирования, авторы получили точное решение и, опираясь на него, изучили кинематику движения и энергетику в упругой изотропной полуплоскости.

К классу задач Лэмба относят и задачи о возбуждении упругих волн в полупространстве, когда на его поверхности источником возмущения волн служат массивные тела конечных размеров. Такие задачи называются контактными и они более сложны, чем задачи с заданными на дневной поверхности напряжениями или перемещениями. Разработке методов решения контактных задач для полуограниченных изотропных упругих сред посвящены монографии Воровича И. И. и Бабешко В. А. [17] и Бабепгко В. А., Глушкова Е. В., Зинченко Ж. Ф. [1]. В монографии [17] дается математический анализ, и развиваются эффективные прикладные методы решения контактных задач теории упругости. В монографии [1] развита теории и прикладные методы решения задач о возбуждении источниками колебаний волн в упругом изотропном полупространстве с изменяющимися по глубине механическими характеристиками. Дан анализ типов волн, возбуждаемых в среде и на поверхности, энергии, переносимой каждым типом волн, диаграмм направленности для различных типов источников. Общие вопросы, связанные с распространением волн в упругом изотропном полупространстве, рассматривались также в монографиях Викторова И. А. [16], Федорова Ф. И. [43], Бабича В. М. и Молоткова И. А. [2], НовацкогоВ. [30].

Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред рассматривались в многочисленных работах российских и зарубежных ученных. Однако работ относящихся к тематике диссертационной работы не так много. В большинстве работ для анизотропных сред рассматривались нестационарные задачи [11], [12], [31]-[33], [45], [52], [50], [46], [36]-[41] для всего пространства и они посвящены, в основном, построению функций Грина для различных анизотропных сред. В работе [10] рассматривается нестационарная задача Лэмба для анизотропной полуплоскости. Решение строится методом Каньяра. Подробный анализ изученных динамических задач теории упругости для анизотропных сред приведен в монографии Поручикова В. Б. [35]. Среди перечисленных работ отметим работу Свевсло В. А. [41], в которой рэлеевское уравнение имеет такой же вид, как и полученное в § 6 диссертации.

Ряд работ выполнены в направлении, связанном с доказательством существования поверхностных волн в упругих анизотропных средах [24], [47].

49], [51]. Подробный обзор этих работ приведен в монографии Балакирева М. К., Гилинского И. А. [5].

В монографии Петрашеня Г. И. [34] приведены решения задачи о распространении плоских волн в безграничном анизотропном пространстве, задачи на отражение и преломлении плоских волн на границе раздела упругих анизотропных полупространств, а также обсуждаются вопросы, связанные с теорией плоских волн.

В работе Будаева B.C. [13] изучены корни характеристического уравнения, возникающего при решении задач о распространении упругих волн в анизотропной безграничной среде, и дана классификация упругих анизотропных сред в зависимости от поведения этих корней. Результаты этой работы существенно используются в § 4 диссертации. В [14], [15] изучены вопросы, связанные с единственностью решения внешних задач теории упругих колебаний анизотропных сред.

Ближе всего к тематике диссертации примыкают работы Мкртчяна К. Ш. [28],[29]. В работе [28] рассмотрены установившиеся гармонические колебания в трансверсально-анизотропной полуплоскости, возбуждаемой поверхностной касательной гармонической силой, получены аналитические представления для амплитуд квазипродольных, квазипоперечных и рэлеевских волн в дальней от источника зоне. В работе [29] рассматриваются две динамические задачи о распространении колебаний в анизотропной среде, возбуждаемой сосредоточенной гармонической силой. В первой задаче изучаются гармонические колебания во всей анизотропной полуплоскости, а во второй задаче гармонические колебания изучаются в полуплоскости, на границе которой заданы смешанные условия. В обеих задачах получены асимптотические формулы для перемещений и напряжений в дальней зоне.

Переходим к описанию содержания диссертации В первом параграфе дается описание анизотропных сред, которые будут рассматриваться в работе. Также дается постановка трехмерной динамической задачи теории упругости о гармонических колебаниях полупространства, возбуждаемых нагрузкой, заданной на поверхности.

Во втором параграфе при граничных условиях, не зависящих от координаты у, рассматривается трехмерная задача, которая в этом случае разбивается на плоскую задачу анизотропной теории упругости и сдвиговую задачу, и формулируются уравнения и граничные условия для этих задач.

В третьем параграфе приведено решение сдвиговой задачи, которая сводится к изучению решения уравнения Гельмгольца. Для выделения единственного решения применяется принцип предельного поглощения Игнатов-ского В.С. [42], на основе которого построены разрезы в комплексной плоскости и найдено точное решение рассматриваемой краевой задачи справедливое как внутри области приложения нагрузки, так и вне нее.

В четвертом параграфе подробно изучено характеристическое уравнение в комплексной области для плоской задачи теории упругости в зависимости от постоянных материала. Результаты этого параграфа приводятся для полноты изложения, и как уже отмечалось, они не противоречат результатам, полученным в [13].

В пятом параграфе построено решение плоской задачи (задачи Лэмба) для анизотропной полуплоскости, на границу которой одновременно действуют касательные и нормальные напряжения.

Шестой параграф посвящен поверхностным волнам Рэлея в анизотропной среде. Изучены корни рэлеевского уравнения и построено однородное решение. Отметим, что работ, посвященных этим вопросам достаточно много. Упомянем лишь работу Свекло В. А. 38], в которой рэлеевское уравнение получено в таком же виде, как и в этом параграфе, а также монографию [20], где приведены формулы для перемещений в том случае, когда материал полуплоскости обладает кубической симметрией.

В седьмом параграфе находятся линии, на которых 1тг = 0. Впервые приведены и изучены уравнения этих кривых в зависимости от упругих характеристик материалов.

В восьмом параграфе на основании исследований, проведенных в§-7, строятся разрезы в комплексной полуплоскости. Получено выражение для определения смещений отрезков вещественной и мнимой осей, на которых мнимая часть 1шг12 = 0 в комплексную плоскость. Подробно описано построение разрезов в комплексной области.

В девятом параграфе с помощью метода контурного интегрирования получены формулы для перемещений как внутри области приложения нагрузки, так и вне нее. Формулы справедливы для нагрузок общего вида. Исключение лишь составляет неинтегральный член, определяемый для каждого конкретного вида нагрузки.

В десятом параграфе анализируется полученное решение в области {)х| <1, 0 < г < оо}. Построено решение для |х| < 1 и 2 = 0. Это решение проанализировано для случая, когда нормальные напряжения на границе полуплоскости заданы в виде функции соэ рх, а касательные напряжения равны нулю.

В одиннадцатом параграфе построено асимптотическое решение рассматриваемой краевой задачи в дальнем поле. Показано, что полученное решение имеет вид волны, распространяющейся на бесконечность. При помощи найденных асимптотических формул получено выражение, позволяющее вычислять осредненную за период колебаний радиальную компоненту вектора потока мощности.

В двенадцатом параграфе, используя результаты, полученные в предыдущих параграфах, вычисляется мощность, излучаемая нагрузкой, действующей на поверхности, и вычисляется поток мощности рэлеевских волн. Все рассмотрение проводится для случая, когда нормальные напряжения на границе полуплоскости заданы в виде функции соб рх, а касательные напряжения равны нулю. Доказано, что излучаемый с поверхности поток мощности совпадает с переносимым на бесконечность потоком мощности рэлеевских и объемных волн. 8.

По теме диссертации опубликованы 3 работы [6]-[8]. В работах [6],[7] Белоконю A.B. принадлежит выбор метода исследования.

Основные результаты диссертации были получены в ходе выполнения проекта REC-004 «Научно-образовательный эколого-аналитический центр (НОЦ) системных исследований, математического моделирования и геоэкологической безопасности Юга России» по программе «Фундаментальные исследования и высшее образование (BRHE)», Министерства образования Российской Федерации, выполняемого в Ростовском, Кубанском и Таганрогским техническим университетами.

Автор выражает искреннюю признательность и огромную благодарность своему научному руководителю, академику Бабешко В. А. за постоянное внимание и помощь в работе.

§ 1. Постановка задачи.

В этом параграфе будет рассмотрена задача для полуограниченных анизотропных сред, находящихся под действием периодически изменяющихся во времени возмущений.

Будем рассматривать анизотропную среду, характеризующуюся тремя ортогональными осями симметрии второго порядка. Такие среды называются ромбическими. Считается, что оси симметрии совпадают с осями (х], х2, х3).В этих осях тензор упругих постоянных имеет вид:

С11 сп с 13 0 0 0.

С2 С22 С1Ъ 0 0 0 с 31 С 32 сзз 0 0 0.

0 0 0 С44 0 0.

0 0 0 0% 0.

0 0 0 0 0 с66.

Ск1 = С1к ' где для сокращения записи компонент четырехвалентного тензора приняты обычные обозначения.

11—"-1, 22—"2, 33—"3, 32=23—>4, 31=13—>5. (1.2).

Например, компонента тензора с2323 в обозначениях (1.1) имеет вид.

С44.

Ромбическая среда при дополнительных ограничениях на ее симметрию может перейти в гексагональную, кубическую или изотропную среду.

Гексагональная Ось х3 является осью симметрии шестого порядка, а ортогональные к ней и между собой оси х1 и х2 не являются осями симметрии.

С13~С32 С11~С22 С55~С44 С66 = П 2 0−3).

2л.

Кубическая Ось х3 обладает симметрией при повороте на уголу-, а все оси являются осями симметрии второго порядка.

С12 ~ С13 = С23 СП ~ С22 ~ С33 °44 ~ С55 = °66 (1−4).

Изотропная. Все оси являются осями симметрии шестого порядка и, кроме условий (1.4), выполняется еще условие.

1−5).

Напряжения <зк1 и деформации гтп в ромбической среде связаны соотношениями.

СТ7/ = С11ЕП + С12г22 + С13Е33 ®22 = С21г11 + С22Е22 + С23В33.

33 = °31Е11 С32²² С33Е33 (1*^) у32 = 2с44 г32 с31 = 2с55 в13 о21 = 2с66в12, где + м ц) (1−7) а ик — компоненты вектора перемещений Подставляя теперь (1.6) и (1.7) в уравнения движения.

2'3' (1−8) от б о лучим систему дифференциальных уравнений д и1 ^ д и] д и} дх^ 66 дх22 55 дх23 (^12 + 6)~—+ ГС13 + = Рйг, 5×3 дг 52"2 Э2м2 С44-Г + -= Р-? С1−9).

Зх3 дх2дх3 дг д и1 д и3 8 и3 с 13+°55} ?каГ+са?" +°44 ~дх?~+.

32 м³.. 92М7 52г/3 с33 —~ + (с1Ъ + си)-— = р—.

Зх3 дх2дх3 дг для определения вектора перемещений и .

Для завершения постановки задачи в общем случае следует задать область, в которой ищется решение задачи, а также граничные и начальные условия.

В рассматриваемом случае будем считать, что область, в которой ищется решение задачи, есть полупространство = /|х7|<�оо,|х2| < 00,(?<Х3 <00^ (1−10) и граничные условия имеют вид зз1 =Ых>хг)ёШ.

3=0 Ш з21 =/2(Ч*2> (х^еИ (1.11).

3=0.

Оз! =Л (Х1'Х2)еШ (х}, Х2)<=0,.

3=0 где под D понимается плоская область, охватывающая все области, в которых а3к 0. Например, пусть область, в которой, а 13 ф 0 есть D?, а область, в которой а32 и.

В этой задаче речь пойдет об установившихся колебаниях и решение будем искать в виде u (x, t) = v (x)eiat (1.12) при этом полагая, что решение ищется в классе функций, удовлетворяющих условию v (x) -«• 0 если z -» оо, (1−13) и не задаем начальных условий.

Для дальнейшего удобно ввести безразмерные переменные х/ - ах, х2=ау, х3 ~ az vk=awk, bmnc33=cmn, (1.14).

2 2 сзз*иеШ' = q2 ' fk (x vxi) = съъЧ (x>y).

C33 и, уже учитывая (1.14), приступим к решению задачи (1.9)-(1.13). Для этого применим преобразование Фурье по координатам ihjk уравнениям и граничным условиям (1.9),(1.10) с учетом (1.12), (1.6) и (1.7).В результате получим систему дифференциальных уравнений. д2.

ЬИ12 + b66a2 — b55 + (Ъ!2+ b66) yaW2 + oz oz д2 b, 2 +b66)yaW? +(b66y2+b22a2-b44 ~j)W2 + oz.

Заключение

.

В диссертационной работе:

1)Впервые метод контурного интегрирования корректно и обосновано применен для получения точного решения задачи об установившихся колебаниях анизотропной полуплоскости.

2)Разработана методика построения разрезов в комплексной плоскости, которые необходимо провести для получения точного решения задачи для анизотропной полуплоскости, как в области действия нагрузки, так и вне нее.

3)Впервые получены достаточно простые формулы для вычисления потока мощности как закачиваемого в полуплоскость, так и уходящего на бесконечность.

Результаты теоретических исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы при решении широкого класса задач для многослойного полупространства, состоящего из анизотропных слоев или слоев со сложными физико-механическими свойствами. Такие задачи возникают в сейсмике, ультразвуковом контроле и т. д.