Развитие трехмерных поверхностных и внутренних гравитационных волн в сдвиговых течениях

Значительный интерес к задачам, связанным с поверхностными и внутренними волнами, определяется их многочисленными приложениями. Свда относятся приложения теории волн к задачам подводного и надводного плавания, гидроакустики, геологии и биохимии моря, для решения прикладных задач. Подтверждением такого внимания к теории волн служит появление в последние годы большого количества монографии и обзоров, целиком или частично посвященных исследованию поверхностных и внутренних волн [2, 6, 7, 19, 24−26, 28, 29, 31−33, 45, 46, 69, 72, 73, 82−85] .

Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений в теории волн является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений [7, 28, 31, 32, 50, 51, 64, 88, 106, 108 ]. Это вызвано тем, что в океане всегда имеются течения со сдвигом скорости. О наличии таких течений в океане, пронизывающих всю его толщу от поверхности до дна, свидетельствуют многочисленные измерения [ 5, 21−23, 34, 35, 37, 44, 47, 74, 82, 105, III J. Кроме того, решение задач физики моря, связанных с критическими слоями, устойчивостью, деформацией внутренних волн, изменением генерального направления распространения внутренних волн с глубиной, требуют рассмотрения моделей, в которых учитывается вертикальная структура течений [" 29, 31, 81 ]. Большинство работ о поверхностных и внутренних волнах в сдвиговых течениях посвящено проблеме устойчивости волновых возмущений и анализу поведения внутренних волн в окрестности критических слоев. Устойчивость однородных сдвиговых течений изучалась в работах [ I, 7, 8, 9, 27, 29, 92 ]. Релеем было установлено, что точка перегиба для профиля скорости плоскопараллельного течения является необходимым условием неустойчивости однородного течения между твердыми границами [ 9, 30]. Исследование устойчивости волновых возмущений в стратифицированных сдвиговых течениях проводилось в работах [I, 20, 29, 30, 43, 92, 95, 104]. Одной из схем проведения исследования устойчивости волновых возмущений в стратифицированных течениях является анализ уравнения Тейло-ра-Гольдштейна для вертикальной составляющей вектора скорости возмущенного потока. Для стратифицированных течений Майлсом [ 29, 104] получена теорема «Достаточным условием устойчивости стратифицированного сдвигового течения является выполнение отношения lit > 7f повсюлу в потоке» (Hi — число Ричардсона), Поведение внутренних волн вблизи критических слоев изучалось в работах [7, 29, 31, 81 ]. Установлено, в частности, что у приближающихся к критическому уровню внутренних волн вертикальная компонента групповой скорости исчезает и движение частиц в волне становится почти горизонтальным [ 31 ] .

Проведем краткий обзор работ, касающихся исследования трехмерных поверхностных и внутренних волн в идеальной несжимаемой жидкости, а также плоских волн в потоке со сдвигом скорости в рамках линейных моделей, предшествующих исследованиям, изложенным в главах 1-Ш.

Первое теоретическое исследование корабельных волн в однородной жидкости было проведено Кельвином [юо] • Б дальнейшем теория стационарных корабельных волн интенсивно развивалась в работах Хогнера [96J, Хэвелока [94], Эрселла [по], Стокера [ 46 ]. Неустановившиеся корабельные волны исследовались в работах [78, 83, 84]. Полное асимптотическое исследование корабельных волн в идеальной жидкости проведено в [ 17, 18] .

Б работе Худмака [97] решена задача об установившихся трехмерных внутренних волнах в двухслойной жидкости бесконечной глубины. Генератором волн был точечный источник, движущийся на постоянной глубине по прямой линии. Установлено, что для скоростей движения источника, меньших критической, генерируются поперечные и расходящиеся волны, а для скоростей, больших критической, только расходящиеся. Численно исследовалась форма гребней внутренних волн. Анализ элементов внутренних волн в рамках двухслойной жидкости конечной глубины проводился в работах [78, 80 ]. Установлено, что на свободной поверхности и на границе раздела слоев при движении системы поверхностных давлений образуются по две системы корабельных волн. С помощью численных расчетов показано, что неоднородность жидкости практически не влияет на поверхностные волны. Исследование фазовых и амплитудных характеристик внутренних волн в рамках трехслойной жидкости проведено в [39]. Численно изучены зависимости длин и амплитуд внутренних волн от толщин слоев и величин скачков плотности на границах слоев. В работах Г 40, 41 ] развит метод, позволякщий получать решения для распределения плотности жидкости, моделируемой любым числом однородных слоев. Численно исследовалась вертикальная составляющая возмущенной скорости потока.

Исследование характеристик внутренних волн в линейно и кусочно-линейно стратифицированной жидкостях проводилось в [48, 49 ]. Получены аналитические зависимости для возмущенных компонент вектора скорости течения и вертикальных смещений частиц жидкости. Проведен анализ дисперсионных соотношений. Построены изолинии функции, описывающей вертикальные смещения частиц во внутренних волнах.

Вынужденные установившиеся трехмерные внутренние волны в экспоненциально стратифицированной жидкости исследовались в работе [ 103 ], а с учетом силы Кориолиса в [85 ]. Получены аналитические решения для динамических составляющих вектора скорости и давления, смещений линий тока относительно невозмущенного уровня. Проведены оценки амплитуд внутренних волн и исследовано влияние на них силы Кориолиса. В [Зб] получено асимптотическое решение пространственной задачи о волновых движениях, возникающих в идеальной экспоненциально стратифицированной жидкости конечной глубины при обтекании потоком источника и стока равной мощности. Показано, в частности, что душ некоторых режимов внутренние волны могут распространяться внутри угла | У N^Г • Б [и, 12] для изучения асимптотического поведения неустановившихся волн в однородных, слоистых и непрерывно стратифицированных жидкостях, генерируемых периодически действующими и прямолинейно движущимися возмущениями, предложена единая методика решения задач данного класса, основанная на интегральных преобразованиях Фурье и Лапласа, свойствах спектров некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и методе стационарной фазы для многократного интеграла. Аналогичная методика исследования неустановившихся внутренних волн предложена в работе [99] .

Изучение волновых возмущений, создаваемых овальной неровностью, наклоненной под некоторым углом к потоку, проводилось Ско-рером в [Ю7]. В работе [98] изучались трехмерные подветренные волны, генерируемые несимметричным горным хребтом.

В рамках линейной теории исследование установившихся трехмерных гравитационно-упругих волн в жидкости конечной глубины проводилось в работе [ю]. Изучалось влияние скорости движения локальной области атмосферных возмущений, глубины бассейна на характеристики гравитационных и упругих волн. Неустановившиеся гравитационно-упругие и гравитационно-капиллярные волны в неподвижной жидкости конечной глубины рассматривались в [13, 77,.

84, 86 ] .В работе [ 9lJ изучались нестационарные гравитационнокапиллярные волны в движущемся потоке идеальной несжимаемой жидкости, генерируемые источником периодических возмущений, расположенным на свободной поверхности или внутри жидкости.

Учет вертикальной структуры течений при исследовании характеристик поверхностных и внутренних волн в океане, вызванных движущейся локальной областью атмосферных возмущений, начал проводиться в последние годы. В работах [50, 51, 64] при достаточно общих предположениях о распределении скорости течения и плотности жидкости по глубине в рамках линейной теории дан анализ плоских поверхностных и внутренних волн, генерируемых либо неровностью дня, либо движущейся областью атмосферных возмущений. Изучалось влияние параметров сдвигового течения на капиллярные волны и упругие волны в ледяном покрове. Установлено, что параметры капиллярных волн практически не зависят от вертикального сдвига скорости течения, а характеристики упругих волн при малых глубинах и болыпих толщинах ледяного покрова существенно меняются при изменении скорости течения с глубиной.

Одной из первых работ, посвященных поверхностным трехмерным волнам в течении со сдвигом скорости, является работа [iOl], в которой проведено теоретическое исследование установившихся поверхностных волн в однородном море с линейным профилем скорости течения. Теоретическое исследование подветренных волн в атмосфере при обтекании стратифицированным сдвиговым течением изолированной неровности дня проводилось в работах [88, 93, 106, 108]. В работах [93, 108] проведено сопоставление теоретических результатов с натурными данными.

В настоящей работе проводится изучение трехмерных волновых движений в океане при наличии горизонтальных течений с вертикальным сдвигом скорости, которое развивает полученные ранее результаты исследований трехмерных волновых возмущений в потоке с по стоянной по глубине скоростью и плоских поверхностных и внутренних волн в сдвиговых течениях.

Основной целью работы является получение физических зависимостей, связывавдих характеристики трехмерных поверхностных и внутренних волн с параметрами сдвигового течения, и исследование на их основе структуры и свойств вынужденных трехмерных волновых возмущений в океанских течениях. Для этого формулируются и решаются следующие задачи: провести теоретическое исследование процесса генерации, развития и распространения вынужденных трехмерных волновых движений в океанских течениях и дать физическую интерпретацию полученных результатовполучить количественные оценки, показывающие степень зависимости характеристик поверхностных и внутренних волн от параметров сдвигового течениявыявить и изучить качественно новые особенности в структуре волновой картины, обусловленные вертикальной структурой течения.

Исследование вынужденных нестационарных поверхностных и внутренних волн проводится в адиабатическом приближении, то есть уравнения сохранения количества движения берутся в виде уравнений Эйлера [3l]. Уравнения движения и уравнения неразрывности линеаризованы относительно среднего течения [j =.

Uj (z)9/j (z)90} •. Uj (Z) и ]/j (J) — линейные функции вертикальной координаты Z в каждом из А/ слоев, на которые разбивается океан конечной глубины. При этом предполагается, что распределение скорости течения по глубине непрерывно. В первой главе океан предполагается однородным, а во второй и третьей — неоднородным, причем распределение плотности по глубине аппроксимируется кусочно-постоянной функцией.

В первой главе исследуется влияние течения с вертикальным сдвигом скорости на трехмерные поверхностные и капиллярные волны в идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины и упругие волны в тонкой изотропной пластинке, плавающей на поверхности потока,.

В § I.I дана постановка задачи о генерации и развитии трехмерных поверхностных волн в однородной жидкости при наличии течения с поперечным сдвигом скорости, которое описывается кусочных преобразований Фурье и Лапласа и метода стационарной фазы получены асимптотические зависимости смещений свободной поверхности, возмущенных границ раздела слоев, скоростей распространения передних фронтов продольных и поперечных волн от параметров сдвигового течения. Установлено, что в однородной жидкости с кусочно-линейным непрерывным профилем скорости течения возникают вынужденные волновые возмущения, обусловленные разрывом первого рода вихря скорости среднего течения. Проводится анализ структуры волнового поля. Задачи о корабельных волнах в однородной неподвижной жидкости рассмотрены в [78, 84, 94, 96] •.

В § 1.2 дан численный анализ характеристик корабельных волн в случае плоского потока однородной жидкости с линейным профилем скорости. Исследована зависимость амплитуд поверхностных волн, предельных углов волнового следа, радиальной скорости движения передних фронтов продольных и поперечных волн от параметров сдвигового течения. Отметим, что исследование фазовых характеристик поверхностных волн проводится по асимптотическим формулам, а амплитудных с помощью численного счета однократного интеграла от быстроосциллирующей функции [15 ]. Получено, в частности, что амплитудные и фазовые различия растут с удалением от линии движения генератора волн. Выявлено, что на время установления волнового движения оказывает влияние не только величина градиента скоточками излома. С помощью интегральрости течения, но и его знак. Задача для.

Vj (Z) ^ 0 решена в работе 142 ] .

В § 1.3 проводится изучение волновых возмущений в однородной жидкости с кусочно-линейным профилем скорости течения. Получено, что «вихревые волны», обусловленные разрывом вихря скорости среднего течения [i, 87] с ростом расстояния от очага возмущения затухают медленнее, чем поверхностные волны при тех же значениях параметров. Отличительной особенностью «вихревых волн» является то, что основные волновые возмущения, имеющие порядок R /2(ft — расстояние от генератора волн до некоторой точки на возмущенной поверхности), развиваются с той стороны, относительно линии движения генератора волн, в которую направлена поперечная составляющая скорости течения.

Изучение влияния сдвига скорости течения на капиллярные и упругие волны проводится в § 1.4. Здесь приводятся общая постановка и асимптотическое решение задачи генерации и развития гравитационно-кашшшрных и гравитационно-упругих волн для кусочно-линейного профиля скорости течения в однородной жидкости конечной глубины. Численный анализ капиллярных волн проводится для линейного профиля скорости течения, у которого с глубиной меняются модуль и направление, а упругих волн для кусочно-линейного профиля скорости течения с одной точкой излома. Установлено, что для небольших значений градиента скорости течения (меньших или равных 0,02 с*') сдвиг скорости практически не влияет на характеристики капиллярных волн. Отметим, что аналогичный результат для капиллярных волн в плоской задаче со сдвигом скорости получен в [51]. При расчете характеристик упругих волн в изотропной пластинке, плавающей на поверхности потока, необходимо учитывать вертикальную структуру течений.

Во второй главе, в отличие от первой, жидкость предполагается неоднородной, что позволяет в рамках двухслойной модели идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины провести исследование влияния параметров сдвигового течения на трехмерные внутренние волны. Скорость плоского течения аппроксимируется по глубине кусочно-линейной функцией с одной точкой излома. На по-верхнее™ жидвости принимается условие «твердой Крн&-», которое согласно [з, 1б] отфильтровывает поверхностные волны и мало искажает фазу и амплитуду внутренних волн. Генератором внутренних волн служит либо движущаяся область атмосферного давления, либо неровность дна, обтекаемая потоком стратифицированной жидкости.

В § 2.1 рассматривается влияние сдвига скорости горизонтального течения на фазовые и амплитудные характеристики внутренних волн, возникающих на границе раздела слоев жидкости. В первой части параграфа проводится теоретический анализ решения задачи по методике, предложенной в [83]. Интегральное представление для ^ - смещения границы раздела слоев относительно невозмущенного уровня преобразуется в однократный интеграл, который исследуется численными и асимптотическими методами. Проводится качественный анализ структуры волнового поля, выявлена устойчивость волновых возмущений в рамках принятой модели. Далее численно исследуется влияние параметров сдвигового течения на предельные углы и фазовые портреты волновых возмущений на границе слоев. Найдены области волнового поля, в которых влияние сдвигового течения наиболее значительноэти области располагаются вблизи предельных углов волнового следа. При исследовании влияния сдвига скорости на амплитудные характеристики внутренних волн анализируются: пространственное распределение амплитуд, время • выхода волнового движения в стационарный режим, влияние изменения Д р (Ар — величина скачка плотности на границе раздела слоев). Получены, в частности, следующие результаты: с ростом.

Д р амплитуды внутренних волн уменьшаются, если = — J^ $ > 0 (где и — градиенты скорости течения в верхнем и нижнем слояхУ, = I — 0−0), и увеличиваются при D l н.

0Q ^ Оесли скорость движения генератора волн растет (и она больше критической скорости, а вертикальная структура течения не меняется), то влияние параметров сдвигового течения на время стационирования и на амплитудные характеристики внутренних волн убывает. Далее проводится сопоставление результатов численного расчета с данными наблюдений подветренных волн в устойчиво стратифицированном течении над горами Уэльса [ 109 ] •.

В § 2.2 приведены результаты численного анализа влияния сдвигового течения на LLj «Uj «U?j — составляющие вектора скорости волновых возмущений потока и Pj — динамическую ком-пане нту давления. Численный расчет проводился для различных профилей распределения скорости течения с глубиной. Получено, в частности, что при некоторых значениях параметров сдвигового течения наибольшие значения Uj, Vj могут достигаться либо на поверхности жидкости, либо на .дне. Значительные различия в значениях LLj, Uj и jO, на дне для различных профилей скорости сдвигового течения необходимо учитывать при расчетах распределения осадочных частиц биологического или химического происхождения [102]. Изучение пространственного поля волновых скоростей в неподвижной жидкости проводилось в работах [ 41, 80 ], где численный анализ был выполнен только для Ufj .

В третьей главе проведено изучение трехмерных внутренних волн в неоднородной идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины на фоне среднего сдвигового течения (] = (/- (Z) ,.

Vj (z). о }, где Uj (z) =HjZ +Cj, Vj (z) -4jZ + ej j = I, 2, ., N). Плотность жидкости аппроксимируется кусочно-постоянной функцией. Генератором внутренних волн служит либо неровность дна, обтекаемая потоком стратифицированной жидкости, либо движущаяся по поверхности локальная область барического возмущения. Аналогичная задача, но только в неподвижной жидкости, была решена в [40, 41 ] •.

В § 3.1 дана общая постановка задачи о генерации и развитии трехмерных поверхностных и внутренних волн в А/ -слойном устойчиво стратифицированном океане с вертикальным сдвигом скорости течения. Найдены функциональные зависимости для смещения границ раздела слоев и свободной поверхности относительно невозмущенного положения, составляющих вектора скорости волновых возмущений потока, динамической компаненты давления в кавдом из А/ слоев от параметров сдвигового течения. Проведен анализ структуры волнового поля в рамках рассматриваемой модели.

Численный анализ параметров внутренних волн в § 3.2 проведен в рамках двухслойной модели океана с условием «твердой крышки» на поверхности. Получено, что для данной модели океана вынужденные волновые возмущения являются устойчивыми. Непараллельное течение, в отличие от плоского сдвигового течения, рассмотренного во второй главе, приводит к асимметрии волнового следа относительно линии движения локальной области атмосферных возмущений. Асимметрия волнового следа заключается в различии фазовых и амплитудных характеристик волнового следа справа и слева относительно линий движения генератора волн. Показано, в частности, что размеры областей основных возмущений, время установления волновых движений, величины наибольших смещений границ раздела слоев слева и справа относительно линии движения генератора волн могут различаться в несколько раз. Влияние поперечной составляющей скорости течения на амплитудные и фазовые характеристики растет с удалением от линии движения генератора волн.

Известно [98, Ю7], что асимметрия волнового следа может иметь место за счет асимметрии формы неровности дна, обтекаемой потоком стратифицированной жидкости, В работе показано, что асимметрия волнового следа, вызванная наличием сдвигового течения, вектор скорости которого о глубиной меняет модуль и направление, может быть либо усилена, либо уменьшена за счет поворота генератора волн в горизонтальной плоскости относительно набегающего потока,.

В работе [ 21 ] на основе данных экспериментальных исследований, проведенных в центральной части Атлантического океана, были построены двумерные корреляционные функции колебаний температуры на различных глубинах. Анализ корреляционных функций позволил авторам работы [21 ] сделать предположение, что изменение направления максимального радиуса корреляции и связанного с ним генерального направления распространения внутренних волн с ростом глубины связано с разворотом вектора скорости фонового течения. С целью проверки сделанного выше предположения в § 3.3 в трехслойной модели океана исследуется влияние непараллельности сдвигового течения на амплитудные характеристики вынужденных трехмерных внутренних волн и на направление распространения внутренних волн с глубиной. Распределение скорости течения по глубине выбиралось следующее: на поверхности жидкости, на первой границе раздела слоев и на дне вектор скорости течения направлен вдоль оси ОХна второй границе раздела слоев вектор скорости течения^, У20 * с осью ОХ угол /5 1 При движении по поверхности жидкости области давления в направлении, противоположном оси ОХ, возникают две системы внутренних волн, обусловленных скачками плотности на первой и второй грани-^ цах слоев (будем называть их для краткости первой и второй системами внутренних волн). В результате проведенного численного расчета было получено: первая система волновых возмущений будет только деформироваться (так как поперечная составляющая скорости течения в верхнем слое равна нулю, а во втором — линейно меняется от нуля до V^ > 0 на второй границе раздела слоев) — вторая система внутренних волн не только деформируется, как первая, но, раздав, на .ол У/, в соответствии о поворотом вектора скорости течения на этой границе. Таким образом, отмеченная в работе [2l] связь между вращением вектора скорости фонового течения и изменением генерального направления распространения внутренних волн с глубиной действительно имеет место. Далее проводится сравнение амплитудных характеристик внутренних волн для двух моделей течения с поперечным сдвигом скорости. Получено, что расположение наибольшего смещения возмущенной границы раздела слоев слева или справа относительно линии движения генератора волн зависит от величины и знака вихря скорости сдвигового течения в окрестности скачка плотности (при этом перенос водной массы в поперечном направлении по всей глубине осуществляется в одну сторону).

Основные результаты, полученные в работе:

1. В рамках новых многослойных трехмерных моделей океана с аппроксимацией скорости течения по глубине непрерывной кусочно-линейной функцией и распределения плотности жидкости ступенчатой функцией получены физические зависимости между характеристиками вынужденных поверхностных и внутренних волн и параметрами сдвигового течения. Проведен анализ структуры волнового поля. Для однослойной и двухслойных моделей океана найдены критерии, определяющие количество возбуждаемых систем волн в зависимости от вертикальной структуры течений.

2. В однородной жидкости, в которой на поверхности и на дне выполняются условия «твердой крышки», найдены профили скорости непараллельного течения, описываемые кусочно-линейными функциями с двумя точками излома, при которых генерируются устойчивые и неустойчивые волновые возмущения. Показано, что течение со сдвигом скорости может быть стабилизирующим’фактором в жидкости с неустойчивой стратификацией.

3. Получено, что для некоторых моделей сдвигового течения существует значение скорости движения области давлений UQ, меньшее критической, при которой предельный угол корабельных волн равен 19°28', а для скоростей движения генератора волн из интервала С 0, Uq) предельный угол меньше 19°2д/ и достигает минимума в некоторой внутренней точке этого интервала.

4. Установлено, что волновой след, генерируемый движущейся по поверхности жидкости областью давлений, не будет симметричным, если он развивается на фоне непараллельного сдвигового течения. Асимметрия заключается в различии фазовых портретов, амплитудных характеристик и времени установления цугов внутренних волн слева и справа относительно линии движения генератора волн. При этом амплитуды внутренних волн могут различаться в несколько раз. Эти различия растут с удалением от линии движения генератора волн, и их можно либо усилить, либо уменьшить за счет поворота генератора волн в горизонтальной плоскости относительно набегающего потока.

5. Выявлено, что наибольшие смещения возмущенной границы раздела слоев могут располагаться как слева, так и справа относительно линии движения генератора волн в зависимости от величины и знака градиента поперечной составляющей скорости течения в окрестности скачка плотности.

6. Исследовано влияние сдвигового течения на составляющие вектора скорости волновых возмущений потока и динамическую компоненту давления. Получено, что величины горизонтальных компонент вектора скорости волновых возмущений потока, для некоторых моделей распределения скорости течения по глубине, могут достигать наибольшего значения либо на поверхности, либо на дне.

7. Численно-аналитические расчеты, проведенные в рамках трехслойной модели океана, позволили теоретически обосновать установленную ранее экспериментально связь между направлением вращения вектора скорости течения и изменением генерального направления распространения внутренних волн с глубиной.

Основное содержание работы опубликовано в [14, 52−63, 65−68, 70, 71] .

В заключение пользуюсь случаем выразить благодарность научным руководителям работы: член-корреспоцценту АН УССР, доктору физико-математических наук ЧЕРКЕСОВУ Леониду Васильевичу и старшему научному сотруднику, кандидату физико-математических наук Суворову Александру Михайловичу за постановку задачи и постоянную поддержку и помощь в ее решении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.