Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с положительными операторами

Диссертация посвящена точным и приближённым методам решения ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений с интегралами, понимаемыми как в смысле Ри-мана и Лебега, так и в смысле главного значения по Коши-Лебегу.

Актуальность темы

Значительное число теоретических и прикладных задач приводит к необходимости решения различных классов интегральных и и н те г р од и ф ф е р е н ц и, а л ь н ы х уравнений с параметрами. Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана и изложена в известных учебниках, монографиях и научных статьях. Из неё следует, что указанные уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях, и даже в этих случаях для доведения результата до числа приходится использовать теорию приближения функций и операторов. Поэтому как для теории, так и, в особенности, для приложений первостепенное значение приобретает разработка аппроксимативных методов решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. В этой области за последние десятилетия достигнут существенный прогресс благодаря работам как отечественных, так и зарубежных авторов. Итоги достигнутых результатов подведены в специальных обзорных работах и монографиях таких авторов, как А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, Б. Г. Габдулхаев, В. А. Зо-лотаревский, В. В. Иванов, Л. И. Кривошеин, И. К. Лифанов, С. Г. Мих-лин, Н. Я. Тихоненко, М. Голберг (М. Golberg), 3. Прёсдорф (S. Pro? dorf), С. Фенио (S. Fenyo), Г. Штолле (Н. Stolle), Д. Эллиот (D. Elliot) и др. Однако, несмотря на сказанное, здесь всё ещё остаётся много нерешённых задач. Данная диссертация призвана в некоторой степени восполнить этот пробел.

Цель работы. а) Установление практически эффективных достаточных условий существования, единственности и устойчивости решений ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрамиб) разработка аппроксимативных методов решения указанных классов уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

Под теоретическим обоснованием метода, следуя Л. В. Канторовичу [58], в диссертации понимается следующий круг вопросов: а) установление осуществимости и сходимости алгоритмаб) исследование скорости сходимостив) получение эффективной оценки погрешностиг) исследование устойчивости и обусловленности метода.

Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации использованы известные результаты из теории приближения функций полиномами и сплайнами, регулярных и сингулярных интегральных уравнений, общей теории приближённых методов функционального анализа и теории положительно определённых операторов в гильбертовых пространствах. При этом мы существенным образом пользуемся также методикой исследований, предложенной в главе 4 монографии Б. Г. Габдулхаева [31].

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем: а) предложены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами на основе теории положительных операторовб) для таких уравнений предложено теоретическое обоснование различных классов полиномиальных и сплайновых прямых и проекционных методов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии точных и приближённых методов решения регулярных и сингулярных интегральных уравнений и их обобщений. Они могут быть использованы также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Одесса, ОГУ, 1991 г.), Международной научной конференции «Лобачевский и современная геометрия» (г. Казань, КГУ, 1992 г.), Республиканской научно-методической конференции (г. Одесса, ОГУ, 1992 г.), Международной научной конференции, посвящённой 100-летию Н. Г. Чеботарёва (г. Казань, КГУ, 1994 г.), Школе-конференции, посвящённой 100-летию Б. М. Гагаева (г. Казань, КГУ, 1997 г.), Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения» (г. Набережные Челны, КамПИ, 1997 г.). Кроме того, результаты диссертации, по мере их получения, регулярно докладывались на итоговых научных конференциях КРУ и КГПУ, а также на научном семинаре «Теория аппроксимации и её приложения» при КРУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых приводится в конце диссертации.

Теперь приведём краткий обзор научной литературы, имеющей непосредственное отношение к обсуждаемым в диссертации вопросам.

В начале для удобства изложения приведём следующие определения, ограничиваясь лишь нужным нам случаем гильбертовых пространств.

Определение 1. Линейный оператор А, заданный в вещественном гильбертовом пространстве X = {ж} с обычными скалярным произведением (ж, у) элементов ж, у Е Л' и нормой ||ж|| элемента х Е X, называется: а) неотрицательным, если.

Ах, ж) ^ О, Уж Е X: б) положительным, если.

Ах, ж) > 0, Уж? X, х ф 0- в) положительно определённым, если.

Аж, ж) ^ 72||ж||2, Уж Е А", где 72 — положительная постоянная, не зависящая от х Е X.

Это определение можно найти, например, в книге С. Г. Михлина [81], там же имеются сведения библиографического характера.

Определение 2. Оператор, А (вообще говоря, нелинейный) в гильбертовом пространстве X называется: а) монотонным, если.

Ах — Ау, х — у) > 0, Ух, у Е А'- б) строго монотонным, если.

Ах — Ау, х — у) > 0, Уж, у Е А', х ф. у в) сильно монотонным, если.

Ах — Ау, х — у) ^ т\х — у\2, Уж, у Е А, где т — положительная постоянная, не зависящая от ж, у Е А'.

Это определение можно найти в монографиях [13,37,69,70], там же имеются сведения исторического характера.

Определение 3. Оператор, А в произвольном (в том числе комплекс-пом) гильбертовом пространстве X называется псевдомонотонным, если.

Ах — Ау, х — у)| ^ \х — у\ т (\х — у||), Ух, у е X, где т (Ь) — возрастающая функция, удовлетворяющая условиям т (0) = 0 и т (£) —>¦ Ч-оо при? —)¦ +оо.

Заметим, что первое предложение об уравнениях с псевдомонотонными операторами в гильбертовом пространстве приведено в рукописи Э. За-рантонелло (Е. Zarantonello) (см., напр., в [13] и там же о последующих обобщениях).

Метод положительных линейных операторов и, как его обобщение на нелинейный случай, метод монотонных операторов широко применяется в математическом анализе и дифференциальных уравнениях при доказательстве теорем существования и единственности решения различных классов уравнений, а также для их приближённого решения методами Галёркина и последовательных приближений. Этим вопросам посвящена обширная литература. С учётом сказанного выше остановимся на некоторых из таких работ, особенно на тех, которые имеют прямое отношение к тематике данной диссертации.

В первую очередь мы считаем необходимым отметить ставшие уже классическими результаты С. Г. Михлина по операторным уравнениям с симметричными положительными операторами в гильбертовых пространствах и их применениям к приближённому решению различных классов обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений. Эти результаты хорошо известны, их подробное изложение можно найти, например, в монографии [81]. Изложение близких результатов на основе теории финитных функций имеется (наряду с многими другими результатами) в книге Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [77]. В недавней книге С. Г. Михлина [82], в разделе, посвящённом интегральным уравнениям, даётся обоснование метода Бубнова-Галёркина для одномерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, когда его ядро представляется в виде суммы положительного симметричного и антисимметричного ядер. Там же указаны некоторые простые условия положительности интегрального оператора Фредгольма.

Впервые в отечественной монографической литературе детальное изложение метода монотонных операторов с многочисленными приложениями осуществлено в книге М. М. Вайнберга [13]. В ней наряду с обстоятельным историческим обзором дано систематическое изложение метода в общем случае и показано его применение при изучении нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и их обобщений, нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых и гильбертовых пространствах, эллиптических и параболических квазилинейных краевых задачв книге рассмотрены также методы Галёркина-Петрова и наискорейшего спуска решения нелинейных уравнений с монотонными операторами.

В книге немецких математиков X. Гаевского (Н. Gajewski), К. Грёre-pa (К. Groger), К. Захариаса (К. Zacharias) [37], написанной как учебник, даётся изложение основных фактов теории монотонных операторов и эта теория систематически применяется к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются также приближённые методы решения указанных уравнений методами Галёркина, последовательных приближений и проекционно-итеративным методом.

В работе [108] П. Чэн (P. P. Chan) на основе метода монотонных операторов приведены теоремы существования решения (как правило, в условиях сжимаемости соответствующих операторов) интегрального уравнения Фредгольма второго рода и нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и Урысона, а также отмечены пути применения к ним метода Галёркина. Указанный результат с небольшими изменениями и обобщениями излагается также в книге [109] С. Фенио (S. Fenyo), Г. Штолле.

В работах [60,61,74−76] В. Л. Макарова и Г. С. Каркарашвили рассматривается применение метода монотонных операторов к одномерным линейным и нелинейным интегральным уравнениям. В частности, в [60,61,76] рассмотрен своеобразный сеточный метод решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода и нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна в пространствах С. Л. Соболева 1), 0 < а < 2, в предположении малости £2~нормы ядра. В заметке [74] аналогичные результаты анонсируются для уравнения Фредгольма вида с ядром K (x, t), порождающим монотонный оператор К в смысле.

Н. Stolle).

0.1) о i i о о для любых Л = const ^ 0. В работе [75] эти результаты подробно изложены применительно к линейному уравнению Фредгольма второго рода и нелинейному уравнению Урысона. Приведены достаточные условия, при которых решения указанных уравнений принадлежат дробным соболевским пространствам И/2а (0,1), 0 < о < 2. Путем специального усреднения по Стеклову ядра и правой части построены сеточные схемы. Установлена скорость сходимости приближённого решения к усреднённому точному. При решении уравнений с монотонными операторами используется специальный усредняющий оператор (оператор точных разностных схем). При этом получающиеся разностные схемы обладают скоростью сходимости, согласованной с гладкостью решения исходной интегральной задачи.

В монографии А. Ю. Лучки [69], наряду с многими другими результатами, для различных классов интегральных и родственных операторных уравнений с монотонными операторами предложены вычислительные схемы проекционно-итеративного метода и дано их теоретическое обоснование в банаховых и гильбертовых пространствах. В работе А. Ф. Лучки, О. Е. Нощенко и Н. И. Тукалевской [71] предлагается двух шаговый вариационно-градиентный метод для решения линейных уравнений Аи = /, где, А — самосопряжённый положительно определённый оператор в гильбертовом пространстве. Даны обоснование метода и алгоритм для численной реализации. В работе С. Д. Балашовой [8] для решения уравнения Аи = f с положительно определённым оператором Л, заданным в вещественном гильбертовом пространстве X, рассмотрен проекционно-итеративный метод, установлена его сходимость.

Впервые вопрос о применении метода монотонных операторов к исследованию сингулярных интегральных уравнений поднимается в работе [105] Г. Аманна (Н. Amann), где на стр. 253 рассматриваются два примера таких уравнений. Приведём их.

Пример 1. В гильбертовом пространстве X = Ь^—к, к) рассматривается уравнение вида где /(у, и) — известная непрерывная функция в области —уг ^ у ^ тг, —оо < и < ос, м (£) — искомая функция. Если оператор Р: X —X, где (Ги)(х) = /(ж, и (х)), является хеминепрерывным и сильно монотонным с постоянной монотонности т = а > 0, то уравнение (0.2) имеет единственное решение Уц Е X, которое можно найти итерационным методом.

Щ = 0, ип+[ = ип — тК*[ип + KF (un)], п = 0,1,. (0.3).

Если, кроме того, F есть липшиц-непрерывный оператор, то существует такое г0 > 0, что для всех т G (0, т0) итерационный метод (0.3) сходится к vo (x), причём.

IK — V0|| < а-1 ||м&bdquo- + A*F (w")||, п = 0,1,., где ж.

Ku){x) = ^ J (l + ctg ^^)u (y)dy,.

7 Г.

7 Г.

К*и)(х) = -L J (1-ctg X-^L)u (y)dy. ж.

Пример 2. В пространстве X — Ь2(—тг, 7г) рассматривается уравнение вида ж.

Si' X ж) + — / ctg—-/(.'/, м (?/))(% = 0,? = ±1, -ТГ < .1- < ТГ, (0.4) flatte f (y, u) — известная непрерывная функция в области —тг ^ у ^ тт, —оо < и < оо, u{t) — искомая функция. Если оператор F: X —i Л*, где (Fu)(x) = f (x, u (x)), удовлетворяет условию Липшица и для любых м, h G А'.

Re (F (w + /?) — F (w), Л) > а||/гЦ2, а = const > О, то уравнение (0.4) имеет единственное решение г>о G Xсуществует такое то > 0, что для всех т G (0, tq) итерационный метод щ = 0, iin+i = ип + теК[ип + cKF (un)}, s = ±1, п — 0,1,. (0.5) сходится в пространстве X к единственному решению уравнения (0−4), где ж.

J^ / у.

К и) (х) = ~ / et g -—u (y)dy, -тг < X ^ тт. ж.

В последующие годы, используя различные идеи и подходы, метод монотонных операторов был применен к исследованию различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши. Здесь мы в первую очередь отметим работы С. Н. Асхабова, А. И. Гусейнова, Г. М. Магомедова, X. Ш. Мухтарова, а также результаты.

М. А. Бетилгириева, Р. А. Бостанова, М. Н. Асхабовой, Р. М. Ганиевой, Ы. К. Карапетянца и X. Б. Ханикалова (см., напр., в [3,4,41,43,73,85,86]). Обстоятельный обзор результатов до 1989 года имеется в первой части содержательной работы С. Н. Асхабова [3]- во второй её части для ряда классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в пространстве Lp (—ir, тг), 1 < р < сю, и с ядрами Коши в весовых пространствах Lp (p- [а, &]), 1 < р < сю, b — а < сю, и Lp (p- (—сю, сю)), 1 < р < сю, где р = р (х) — соответствующая весовая функция, доказаны теоремы существования и единственности решения, а также установлена сходимость метода последовательных приближений. В работе [4] аналогичные вопросы решаются для уравнения типа свёртки вида х иа (х) = J К (х — t) u (t)dt = f (x), а = const > 1. о.

В работе [73] доказываются теоремы существования и единственности решений уравнений вида и + XAFu = д при малом и большом |А|, где, А — линейные сингулярные интегральные операторы, a (Fu)(x) = f (x, и (х)).

К только что рассмотренному циклу работ примыкают работы Л. Воль-ферсдорфа (L. Wolfersdorf) — (см., напр., [110,113,114]), в которых с помощью теории монотонных операторов (см., напр., в [37]) доказываются теоремы существования и единственности решения ряда классов линейных и нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши. Кроме того, в работе [110] приведен квалифицированный обзор соответствующих результатов до 1987 года, а в работе [114] при некоторых ограничениях (рассмотрены четыре типа таких ограничений) получены теоремы существования и единственности решения сингулярного интегрального уравнения, а fix, и (х)) = ~ I i^Mtdy + с, -а^х^а, тт J у-х, а где u (t) и С — искомые функция и параметр, а известные функции f (t, и) и g (t. и) имеют непрерывные производные по переменной и.

В работах В. П. Кадушина [55−57] метод монотонных операторов применяется к обоснованию ряда схем проекционно-итеративных методов решения линейных и нелинейных сингулярных интегральных уравнений с комплексно сопряжёнными неизвестными, заданных на единичной окружности комплексной плоскости. В частности, для таких уравнений с помощью оператора Фурье Лагранжа построена и теоретически обоснована схема проекционно-итеративного методадоказана сходимость метода и установлена эффективная оценка погрешности.

Далее, в работах [106,107] Д. Н. Арнольда (D. N. Arnold), В. Л. Вендлан-да (W. L. Wendland) в дробных соболевских пространствах дано обоснование метода сплайн-коллокации и сплайн-тригонометрического метода Галёркина решения для т.н. псевдодифференциальных уравнений на замкнутых контурахзаметим, что такие уравнения имеют определённое отношение к сингулярным интегральным уравнениям.

В работе В. И. Тараканова [97] краевые задачи плоской теории упругости сводятся к системе Ти = / (и, / G Н) двух линейных сингулярных интегральных уравнений с ограниченным самосопряжённым положительно определённым оператором Т в гильбертовом пространстве Н квадратично суммируемых вектор-функций. К решению такой системы применяется итерационный метод градиентного спуска (см., напр., в [64]) jn+i = ип + тпгп, гп = f — Тип, тп = Уп}г1п, п = 0,1,., (0.6).

УП7 1 ' Н ] который сходится со скоростью геометрической прогрессии.

В работах [90−93] А. Б. Самохина и А. С. Самохиной методом положительно определённых операторов исследован ряд важных прикладных задач. Так, в работе [90] проведено исследование разрешимости задач дифракции эле к г ромагнитных волн в локально неоднородных анизотропных средах на основе линейных сингулярных интегральных уравнений. Обоснована применимость итерационного метода минимальных невязок (см., напр., в [64]) -jtnTn, iп — f Aiin, tn = — - r, ti — 0,1,., (0.7).

АГп J для получения решения объемных сингулярных интегральных уравнений Аи — f (и, f G L2), описывающих указанный выше класс задач в гильбертовом пространстве X = L-2(Q), где Q — область определения функций u (t) и f (t). В работе [91] проведено исследование разрешимости объемных линейных сингулярных интегральных уравнений, которые описывают трехмерные задачи дифракции электромагнитных волн. Доказана ограниченность и положительная определённость со от в етст ву ю щ его объёмного сингулярного интегрального оператора. Описан численный метод решения указанных уравнений и доказана сходимость приближённого решения к точному на основе методов Галёркина и минимальных невязок. В работе [92] исследованы объемные линейные сингулярные интегральные уравнения задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле.

Доказаны теоремы существования и единственности решения, обоснован и изучен численный метод решения на основе методов Галёркина и минимальных невязок. В работе [93] изучается применимость итерационного метода минимальных невязок для решения объемного линейного сингулярного интегрального уравнения, описывающего задачи дифракции электромагнитных волн на трехмерном диэлектрическом теле. Дискретизация интегрального уравнения проводится с помощью методов Галёркина и коллокации.

В монографии Б. Г. Габдулхаева [30], наряду со многими другими результатами, предложено исследование прямых методов решения ряда классов линейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциаль-ных уравнений первого рода методом положительных операторов. Систематическому применению этого метода к различным классам одномерных и многомерных линейных интегральных уравнений посвящены работы [29,31−34]. В них рассматриваются следующие уравнения: а) одномерные сингулярные интегральные уравнения с ядрами Гильберта и Кош иб) двумерные регулярные интегральные уравнения с частными интегральными операторамив) двумерные сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами как с внешними, так и с внутренними коэффициентамиг) многомерные сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами с ядрами Гильберта. Для таких уравнений методом положительных операторов установлены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений. На их базе обосновывается оптимальный по порядку общий проекционный метод, откуда, в свою очередь, выводится достаточно простое теоретическое обоснование ряда конкретных прямых и проекционных методовзначительное внимание уделено полиномиальным и сплайновым квадратурным, кубатурным и квадратурно-кубатурным методам, являющимся наиболее простыми при численной реализации, но представляющим значительные трудности при их теоретическом обосновании.

В работах Б. Г. Габдулхаева, И. К. Рахимова [35,36] исследуются прямые методы решения нелинейного сингулярного интегрального уравнения вида а (я)ф) + А *) + ф))+.

А3Ф (*, ф), *)) = /(*) / е Ь2), где А— = сотШ (г = 1,2,3), А? + А| + А| ф 0,.

0.8).

0.9) а (в), Ь (з), и Ф (б"Л') — известные непрерывные функции, /(«) известная функция из Ь*2, а функция (р{1) ищется в пространстве Ь2 = Х2(0,2тг) с обычной нормой. Предлагается теоретическое обоснование методов механических квадратур и Галёркина, рассматривается также их численная реализация через квадратурно-итерационный и проекционно-итеративный методы.

К сказанному выше следует добавить, что достаточно подробному исследованию прямых методов решения различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов посвящена недавняя кандидатская диссертация И. К. Рахимова [89], в которой имеется также достаточно подробный обзор литературы в рассматриваемой области.

В течение последних тридцати лет внимание многих авторов (см., напр., [6, 7, 12, 15−17, 45, 52−54, 72, 98, 102]) привлекали сингулярно возмущённые дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, т. е. уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной и претерпевающие вырождение (например, понижение порядка), если положить малый параметр равным нулю. Этот интерес связан с интенсивным развитием таких областей, как теория нелинейных колебаний, квантовая механика, теория автоматического регулирования, газодинамика, кинетика и др., где встречаются подобного рода уравнения. Основополагающими в этом направлении науки являются работы академика А. Н. Тихонова (см., напр., [102]), в которых он приводит асимптотическую теорию для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и малым параметром при производных вида.

1 г, ч (1и ч.

0,5) = 2°- 2,(0,8)=/- где е > 0 — малый параметр, Т е Ифункции I) и /(г, у, непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по 2 и у в некоторой открытой области С? пространства переменных (.г, ?/,?) — начальные условия и у0 не зависят от г. Эта задача называется возмущённой. При е = 0 имеем невозмущённую (уже вырожденную) задачу. А. Н. Тихонов доказал, что при выполнении определённых условий решение возмущённой задачи е), е) существует на [0, Г], единственно и при е —> 0 стремится к решению невозмущённой задачи у, для у — равномерно на [0,Т], для г равномерно на [¿-о, Т], где ?0 — сколь угодно мало, но фиксировано при е —" 0. Отрезок (0, ¿-о) — область быстрого изменения функции 2 (порядок роста 1/е) называется пограничным слоем.

Вопрос о получении равномерного на [О, Г] приближения как для так и для z (t, г), причём с любой степенью точности был рассмотрен А. Б. Васильевой [15−17]. Она определяет решение возмущённой задачи как сумму невозмущённого решения и ряда из пограничных функций по степеням г. Метод «пограничных функций» был применен А. Б. Васильевой и её учениками (см., напр., [12]) также для решения краевых задач и уравнений в частных производных.

В монографиях М. И. Иманалиева [53,54] излагается метод асимптотического разложения решений задачи Коши и краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, а также решений периодических систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (рассматриваемые интегралы — регулярные).

Применение обычных вычислительных методов к уравнениям с малым параметром при старшей производной встречает затруднение из-за «неравномерного» характера интегральных кривых. В связи с этим в работе А. М. Ильина [52] предлагается специальная разностная схема, удобная для расчёта сингулярно возмущённых случаев, погрешность которой мала вместе с шагом равномерно относительно е. При исследовании метода Галёркина для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром t при старшей производной Б. М. Багаев (см., напр., [б, 7]) к кусочно-линейным базисным функциям добавляет одну функцию пограничного слоя и доказывает, что рассматриваемый метод с некоторым весовым скалярным произведением даёт приближённое решение с точностью h + у/е в энергетической норме (здесь h — шаг сетки).

В книге [45] Э. Дулана (Е. P. Doolan), Дж. Миллера (J. J. Н. Miller), У. Шилдерса (W. Н. A. Schilders) рассматриваются равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. Чтобы сохранить преимущества равномерной сетки, в аппроксимирующую разностную схему ими вводятся подгоночные экспоненциальные коэффициенты, которые обеспечивают равномерную точность аппроксимации на равномерной сетке. Это делает схему адаптируемой и удобной для приложений. Однако равномерные оценки ошибок были получены лишь в предположении, что для исходной задачи справедлив принцип максимума. Численные методы, обсуждаемые в этой книге, предельно эффективны в том смысле, что они имеют хорошие свойства сходимости не только для малых значений параметра и обладают двумя важными свойствами: применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага.

В работе И. С. Любченко [72] приводятся достаточные условия разрешимости некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производныхполучены эффективные оценки для приближённых формул на основе метода Ньютона.

Современное состояние науки в области изучения сингулярно возмущённых уравнений отражено в тезисах докладов Международной научной конференции «Теория и приложения методов малого параметра» [98], посвященной 90-летию А. Н. Тихонова (г. Обнинск, 1996 г.).

Работы автора [115−122] посвящены точным и приближённым методам решения различных классов сингулярных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами (в том числе и малыми). В них доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости решений рассматриваемых задач, а также предлагается теоретическое обоснование прямых и проекционных методов их решения.

Теперь приведём краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава (параграфы 1 и 2) диссертации является вспомогательной. В ней приводятся необходимые для дальнейшего изложения результаты из общей теории приближённых методов функционального анализа (параграф 1) и из теории приближения периодических и непериодических функций (параграф 2).

Вторая глава (параграфы 1−3) диссертации посвящена точным и приближённым методам решения регулярных и сингулярных линейных интегральных уравнений с параметрами и с интегралами, понимаемыми как в смысле Лебега, так и в смысле главного значения по Коши-Лебегу.

В параграфе 1 (п.п. 1.1−1.9) исследуются интегральные уравнения Фредгольма вида ь.

Кх = c (t)x (t) + J p®h (t, т) х (т)(1т = y{t), a^t^b, (0.10) a где a, b — произвольные вещественные числа, c (t) — данная непрерывная функция в промежутке (a, Ь) С R, p (t) — весовая функция (вес) этого промежутка, y (t)Ji (t, т) — данные, а x (t) — искомая функции. При этом предполагается, что y (t) Е L-2,p (a, Ь) = L^ip), ядро h (t, г) таково, что интеграл из (0.10) порождает непрерывный оператор Н в ½ (?0, функция x (t) ищется в пространстве Ь-2(р) с обычными скалярным произведением и нормой. Заметим, что в уравнении (0.10) функция c (t) играет роль параметра: при различных значениях c (t) из (0.10) получаются интегральные уравнения Фредгольма первого, второго и третьего родов. Отсюда же следует, что решение уравнения первого рода Нх = у можно рассматривать как предел при c (t) 0 решения уравнения (0.10). Уравнения вида (0.10), кроме их традиционных областей применения (см., напр., [18,79,82]), появляются при линеаризации различных классов нелинейных интегральных уравнений (см., напр., [2,39]).

Следует отметить, что в настоящее время теория интегральных уравнений Фредгольма второго и первого родов достаточно хорошо разработанав последние годы интенсивно разрабатывается также теория интегральных уравнений третьего рода (см., напр., докторскую диссертацию Н. С. Габбасова [19] и библиографию в ней). Однако эта теория, за исключением редких частных случаев, для практических применений является либо сложной, либо громоздкой (или же и то, и другое одновременно). С учётом этого в пункте 1.2 предлагаются весьма простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений уравнения (0.10). Например, при различных ограничениях на ядро //(?, г) в теоремах 1.1−1.3 доказывается непрерывная обратимость оператора К: L-2(p) —У Li (р) и ограниченность соответствующего обратного оператора.

В пункте 1.3 в условиях любой из теорем 1.1−1.3 исследуется универсальный итерационный метод я'" 1 + (j^j (У — AV-1),? = 1,2,., (0.11) где х° — произвольное начальное приближение из Ь-2(р), — итерационный параметр, а постоянные М и 7 € R определяются из неравенств llA1l < llcWlk: + \Щь2(р) < М < оо, ||ii-1|K7−2.

Показано, что итерационный метод (0.11) сходится в пространстве L2(p) к единственному решению уравнения (0.10) со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q — (1 — 74М~2)½ < 1.

В пункте 1.4 для уравнения (0.10) исследуется сходимость и оценка погрешности общего проекционного метода решения, основанного на произвольной полной ортонормальной системе функций из Ь-2(р). Полученные при этом результаты далее в пункте 1.5 конкретизируются и усиливаются для метода ортогональных с весом p{t) многочленов и для метода сплайн-подобластей нулевого порядка по произвольной системе узлов.

В пункте 1.6 исследуются проекционно-итеративные методы решения уравнения (0.10), основанные на результатах пунктов 1.2−1.5.

Пункты 1.7 и 1.8 посвящены теоретическому обоснованию различных вариантов метода механических квадратур решения уравнения (0.10). Поскольку здесь получены некоторые из основных результатов диссертации, то на них остановимся более подробно.

Полагая h (t, т) Е С (а, Ь)2 и применяя к интегралу в (0.10) квадратурную формулу Гаусса с узлами и коэффициентами соответственно tk = tk, n? (а, b) и Ak = Ak, n? R, уравнение (0.10) обычным способом (см., напр., [59]) аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений вида п c{ti)pi + J2 AkWh tk) ih = y (ti), i = (0.12) k=i где (3k = (3k, n {к = 1, n) — приближённые значения искомой функции в узлах tk использованной квадратурной формулы.

Пусть. •. ,/?* — решение системы (0.12). Тогда решение x*(t) уравнения (0.10) аппроксимируется функциями вида п = ?/%(*), neN> (0−13) к=1.

1 п n (t) = ттуЬМ (0.14) с{ ' к=1 где? k (t) — фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам квадратурной формулы Гаусса.

В пункте 1.7 в терминах теории приближения функций алгебраическими многочленами дано теоретическое обоснование в указанном выше смысле схем метода квадратур (0.10), (0.12)-(0.14) в условиях положительности оператора К: Ьч (р) —>¦ Li (p). В частности, доказана однозначная разрешимость системы аппроксимирующих уравнений (0.12) при любых п Е N (в первом случаеа в общем случае — при всех п Е N, начиная хотя бы с некоторого) и доказана сходимость с определённой скоростью в пространстве L^(p) (соответственно в пространстве С (а, Ь)) функций (0.13) и (0.14) к точному решению x*(t) уравнения (0.10), а также установлены практически эффективные оценки погрешности приближённых решений (0.13) и (0.14) в зависимости от структурных свойств элементов уравнения (0.10).

В пункте 1.8 исследуется схема метода сплайн-квадратур решения уравнения (0.10) — она заключается в следующем. Приближённое решение уравнения (0.10) ищется в виде сплайна нулевой степени п п е (0−15) хп к—1 где фк{1) — фундаментальные сплайны нулевой степени по сетке узлов.

Ь — а.

1к = гкп = а + к-, А' = 0, га, п е N5 (0.16) га здесь ак = (к = 1, п) — приближённые значения искомой функции х*{Ь) в узлах / 1 Ь-а =-^-= а + ~~ 2у —й—' ^ = п € N (°-17) определяются из системы линейных алгебраических уравнений п с (и)щ + ВкЦ^, 1к) ак = у (и), г = 1, га, (0.18) к=1 где к.

Вк = I р{т)йт, к = 1,71. (0.19).

Здесь за приближённое решение уравнения (0.10) принимается также функция.

1^А 7¡-т 1>М — ]? Вк! г&' (0−20) к=1 где «2,.,. а* — решение системы уравнений (0.18).

Считая с (£), ?/(?) Е С[а, Ь] и /г (?, г) Е С[а, 6]2, в пункте 1.8 параграфа 1 главы II диссертации дано теоретическое обоснование в указанном выше смысле схемы метода квадратур (0.10), (0.15) -(0.20) в пространствах Ь-2{р) = Ь2(р- [а, Ь]) и М = М[а, Ь] с обычными нормами.

В пункте 1.9 приведены некоторые замечания и дополнения к установленным в пунктах 1.2−1.8 результатам. В частности, здесь дано обоснование метода механических квадратур для случая, когда существование как оператора А'-1, так и аппроксимирующих его операторов К~1 устанавливается другим способом, а именно в более общей, чем выше, ситуациирассматривается также частный случай, когда оператор Н является оператором сжатия в пространстве.

Параграф 2 главы II посвящён точным и приближённым методам решения периодических интегральных уравнений типа свёртки вида.

2тг.

0.21) 1.

Ах = a (s)x (s) 4- ^ / g (s — a) x (a)da — y (s). где a (s) € C'2jr, y (s) G L2(0,27r), </(«) G Li (0,27r) — если же g (s)? Li (0,2тг), то предполагается, что интеграл в (0.21) существует хотя бы в смысле главного значения по Коши-Лебегу и соответствующий интегральный оператор

2тг.

G (xв) = — / g (s — сг) ж (сг)с?сг, х G ?2 27 Г J о является ограниченным в пространстве L2 = L2(0, 27г). Здесь показывается, как на рассматриваемый случай переносятся соответствующие результаты параграфа 1, а также предлагаются новые результаты, которые в непериодическом случае не могли иметь места. При этом, в отличие от параграфа 1, существенным образом используется теория рядов Фурье.

В замечании к параграфу 2 рассматривается периодическое слабосингулярное интегральное уравнение со степенно-логарифмической особенностью вида.

2тг a (s)x (s) + Ji h (s, a) ctg a — s x xlnr 7 sin 2 x (a)da — y (s)1 —oo < s < oo,.

0.22) где a (s) G C2*, y (s) G L2(0,2tt) (или y (s) G C2*), Л (*,<7) G С[0,2тг]2, г/ = const G [0,1), m + 1 G N), часто встречаемое в различных прикладных задачах.

В параграфе 3 по схеме исследования и на основе результатов параграфов 1 и 2 рассматриваются точные и приближённые методы решения сингулярных интегральных уравнений вида.

2тг.

• U — S /47 sin—-— x{a)d.

2тг к.

Ах = a (s)x (s) + —/ hi (s, a) In' 2тт J, а — s x (a)da+.

—? x (o)d (T = y (s), —oo.

Здесь a (s) E C27r, y (s) E L2(0,27r) и hi (s,<5, m и Лгтаковы, что причём интегралы понимаются либо в смысле главного значения по Коши-Лебегу, либо как обычные несобственные интегралы. Здесь основное внимание уделено простым и практически удобным теоремам существования и единственности решения исследуемых уравнений, а также проекционным и квадратурным методам их решения на основе метода положительных операторов..

Третья глава (параграфы 1−4) диссертации посвящена точным и приближённым методам решения ряда классов сингулярных дифференциальных и и н т е г р о — д и ф ф е р е н ц и, а л ь н ы х уравнений с параметрами. Следует отметить, что результаты данной главы возникли под влиянием результатов А. Н. Тихонова и его учеников (см., напр., [12,15−17,102]), исследовавших дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной. Однако здесь, в отличие от уже ставшей классической тематики, мы основное внимание уделяем теоремам существования и единственности решения, полученным на основе теории положительных операторов, и, в особенности, приближённым методам решения указанных уравнений в условиях применимости теории монотонных операторов и общей теории приближённых методов функционального анализа. Другой отличительной особенностью этой главы от известных результатов является то, что здесь для получения своих результатов мы пользуемся теорией рядов Фурье в пространствах периодических функций Ь2(0,2п) и С-2тг и теорией приближения функций..

В параграфе 1 (п.п. 1.1−1.5) данной главы исследуются точные и приближённые методы решения модельной периодической краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений первого порядка с параметром (в том числе с малым параметром) вида з.

0 < S < 1, m + 1 Е N, ^ А2 ф 0, i= 1 ex'(s) + a (s)x (s) = y (s), —oo < s < oo, ж (0) = х (2ж),.

0.24) (0.25) где a (s) Е C-W и y (s) Е 1−2(0,2тг) — данные вещественные 2тгпериодические функции, as — произвольный (в том числе малый) отличный от нуля вещественный параметр..

В параграфе 2 рассматриваются вопросы точного и приближённого решения краевой задачи вида ex'(s) + Ая (*).ф) + Т (хs) = y (s), -оо < s < ос, (0.26) ж (0) =ж (2тг), (0.27) где 5 и, А — вещественные параметры, a (s) Е C27r, 2/(s) Е L2(0,2тг) — известные, а #(s) Е Ь2(0,2тг) — искомая функции. Здесь Т — линейный интегро-дифференциальный оператор в пространстве L-?(0, 2тг), в частности,.

2тг ,.

С 1 О.

Л /, , ч СГ — S.

2тт.

T (x-s) h (s,.

2 ir 2тг.

I/ Г.

Z7T s,(j) ln сг 5 sm 2 ж а) da. о о где ¡-л, и, в, 6 — вещественные параметры, причём 0 ^ 5 < 1, /?(*, сг), д (в, сг) и г (г?, сг) — известные непрерывные 2тг-периодические функции своих аргументов. В этом параграфе на задачу (0.26)—(0.27) распространяются результаты, полученные в параграфе 1 для краевой задачи (0.24) (0.25)..

Параграф 3 посвящён проекционным методам решения задачи Коши для сингулярного интегро-дифференциального уравнения с параметрами вида sx'{t) + a (t)x (t) + А i х (т) dr к J (т —i.

T? y (t), -1 1,.

0.28) (0.29) 0, Е [-1,1], где а (£), у{£) — известные функции из С[—1,1], с, А — вещественные положительные параметры, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши..

В параграфе 4 рассматриваются сплайн-методы решения дифференциальных уравнений с параметрами при производных как для периодической краевой задачи (0.24)—(0.25), так и для задачи Коши для линейного дифференциального уравнения вида x'{t)+p (t)x (t)=y (t),.

0.30) х (а) = 0, (0.31) где р (Ь), у (?) 6 С [а, Ь] — известные функции, е — произвольный положительный параметр..

Результаты, выносимые на защиту..

1. Методом положительных операторов установлены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений следующих классов линейных уравнений: а) регулярные интегральные уравненияб) сингулярные интегральные уравненияв) периодические интегральные уравнения типа свёрткиг) сингулярные интегро-дифференциальные уравнения с параметрами (в том числе с малыми параметрами) при производных..

2. Для указанных классов уравнений предложено теоретическое обоснование полиномиальных и сплайновых прямых и проекционных методов (общий проекционный методметоды редукции, коллокации, ортогональных многочленов и подобластейпроекционно-итеративный метод и метод механических квадратур)..

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Габдулхаеву Б. Г. за постановки задач и постоянное внимание к работе..