Разработка алгоритмов синтеза анизотропийных регуляторов для линейных стационарных систем с параметрической неопределенностью

Актуальность темы

При синтезе алгоритмов оптимального управления для линейных систем, функционирующих в присутствии внешних возмущений, основным фактором при выборе критерия качества управления является априорная информация о входном возмущении. Первое вполне естественное и распространенное предположение, что на систему действуют возмущения в виде гауссовского белого шума приводит нас к задаче синтеза так называемого линейно-квадратичного гауссовского регулятора, который является линейной системой и минимизирует некоторый квадратичный по управлению и состоянию функционал качества. Такая задача может быть сведена к задаче Н2 -оптимизации, в которой в качестве функционала качества выступает Н2 -норма передаточной функции (в дальнейшем ПФ) системы.

Теория синтеза линейно-квадратичных гауссовских регуляторов появилась в конце 50-х годов 20-го века и связана с именем Р. Кал-мана. Эта теория на годы обеспечила мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления с квадратичным критерием качества [54]. Однако уже в начале 70-х годов появились работы, ставившие под сомнение универсальность этой теории. Источник фундаментального изъяна этой теории (потеря устойчивости системы при малых возмущениях в описании модели) был точно определен в работе [37]. Поэтому перед исследователями в области теории управления встала задача поиска критерия, лишенного этого серьезного недостатка, и позволяющего осуществлять синтез регуляторов, которые были бы робастны по отношению к входным воздействиям. И вскоре такой критерий был предложен.

Отправной точкой задач синтеза стабилизирующих регуляторов, минимизирующих Ноонорму ПФ замкнутой системы по праву можно считать статью Зеймса [73]. С тех пор был достигнут значительный прогресс в решении задач синтеза Ноооптимального управления и обширные результаты могут быть найдены в [38,40,45,46,72]. Такая задача является задачей оптимального управления, а Ноонорма ПФ замкнутой системы — критерием качества. Здесь априорной информацией о входных сигналах является их принадлежность пространству Лебега 1−2, то есть «интегрируемость с квадратом». Поскольку Ноо~ норма индуцируется нормой сигналов в 1,2 (или, как еще говорят, подчинена этой норме), то в указанной задаче она может трактоваться как максимальный коэффициент усиления внешних возмущений, поэтому такие задачи называют также задачами подавления внешних возмущений.

Различия в классах внешних сигналов обуславливает существенное отличие между двумя задачами. В задаче Н2 -оптимизации, функционал качества является выпуклым. — В задаче же Ноооптимизации функционал качества не является выпуклым, что существенно осложняет её решение. Поэтому поиск решения последней проводят, сводя её к задаче Ноосубоптимизации, в которой функционал качества является уже не просто выпуклым, но и квадратичным, что позволяет решать её по той же схеме, что и задачу синтеза линейно-квадратичного регулятора.

В прикладных задачах кроме упоминавшегося выше свойства ро-бастности получаемых регуляторов по отношению к внешним возмущениям, важным свойством является степень их консервативности, то есть энергетических затрат органов управления объекта. Известно, что 7² -регуляторы не являются робастными по отношению к интенсивности входного возмущения [37], в то время как 'Ноо-регуляторы являются излишне консервативными.

Неоднократно предпринимались различные попытки получить ро-бастные регуляторы, обладающие меньшей степенью консерватизма, нежели Ноорегуляторы. Одно из направлений связано с использованием так называемых «смешанных» критериев качества. В этом случае ищется регулятор, минимизирующий некоторый квадратичный функционал качества на множестве всех линейных регуляторов, обеспечивающих заданный коэффициент подавления внешних возмущений в замкнутой системе [32]. Это направление получило развитие в работах [39,64,75], в основу которых положено разделение входных возмущений на сигналы с ограниченной мощностью и сигналы с ограниченным спектром.

Второе перспективное направление, которому и посвящена данная работа, связано с синтезом регуляторов в том случае, когда система функционирует в присутствии случайных возмущений с неточно известными вероятностными характеристиками. Наличие дополнительной информации о входном возмущении с одной стороны позволяет затрачивать меньше энергии на управление, а с другой позволяет отступить от жесткого предположения о том, что входное возмущение является белым шумом. Таким образом, здесь можно говорить о попытках получить задачу синтеза, которая находилась бы, образно выражаясь, «между Н.2 и Н0о «, то есть включала в себя достоинства обеих теорий и в то же время была бы по максимуму избавлена от указанных выше недостатков. Это направление связано с применением теоретико-информационных критериев качества и носит название стохастической Ноооптимизации.

Одним из таких информационных критериев является стохастическая норма ПФ замкнутой системы. Стохастическая норма индуцируется мощностной нормой случайных сигналов из заданного класса вероятностных распределений. Частным случаем стохастической нормы является анизотропийная норма. Эта норма применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение — гауссовская случайная последовательность с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией [6,66]. Последняя является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (или как ещё говорят «окрашенности») или, что тоже самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от гауссовского белого шума. Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму ПФ замкнутой системы, была впервые поставлена в [6] и решена в [67].

Всё вышесказанное относится к синтезу регуляторов для систем, параметры моделей которых полностью известны. Довольно часто в приложениях полной информации о модели объекта нет, что влечет за собой необходимость разработки методов, робастных не только к внешним возмущениям, но также и робастных к параметрам модели.

Задача синтеза Н^ -регуляторов, робастных по отношению к параметрическим неопределенностям модели объекта не нова. Здесь можно выделить два основных направления. Первое, представленное рядом работ [63,70,71] связано с понятием квадратичной стабилизируемости и в его основе лежит получение одного или нескольких неравенств Рик-кати, гарантирующих устойчивость замкнутой системы, содержащей неопределёность. Второй, более плодотворный подход, связанный прежде всего с работами [2,39,41,75] и получивший отражение в целом ряде последующих публикации как теоретического так и прикладного характера, заключается в «замене» объекта с неопределенностью новым, полностью определенным объектом, но содержащим один дополнительный вход с внешними возмущениями, с последующим погружением исходной задачи в более общую задачу Ноосубоптимизации. Другими словами, здесь параметрическая неопределенность заменяется на внешнее возмущение, после чего решается классическая задача Нжсубоптимизации.

В теории синтеза анизотропийных регуляторов, вопрос о получении анизотропийных регуляторов, робастных к неточностям в задании параметров модели линейного объекта в настоящее время не исследован. Данная диссертационная работа призвана восполнить этот пробел.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом. В главе 1 дано краткое изложение анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 2 посвящена анализу робастной устойчивости линейных систем. Результаты этой главы дают возможность делать выводы о внутренней устойчивости линейных систем с неопределенностью в случае, когда на систему действует возмущение с ограниченной средней анизотропией. Применение этого подхода позволяет учесть не только факт дополнительной априорной информации о входном возмущении, но и учесть анизотропийные свойства самого объекта.

Глава 3 посвящана синтезу анизотропийных регуляторов для систем с параметрической интервальной неопределенностью. Регуляторы строятся в предположении, что система функционирует в присутствии случайных возмущений с ограниченной средней анизотропией.

Остановимся более подробно на содержании главы 4 и предпосылках, которые вызвали её появление.

Как известно, ценность новой теории определяется не только новизной получаемых результатов, но и взаимосвязью этой теории с классическими теориями оптимизации, а также возможностью сравнить эти результаты с имеющимися ранее и выделить неоспоримые преимущества новых результатов. В работе [7] показано, что а-анизотропийная норма, являясь функцией своего параметра, а > 0, имеет Н2- и Ню-нормы своими предельными случаями, отсюда следует что и задача синтеза анизотропийного регулятора включает в себя классические задачи Н.2- и Ноооптимизации как предельные случаи. В [18] показано, что отсюда следует, что Н2 — и Ноорегуляторы являются предельными случаями анизотропийного регулятора. Там же показано, что эта связь более глубокая и заключается в следующем.

В работе [23] введён в рассмотрение функционал £(.Р, 7), названный впоследствии энтропийным функционалом или Нооэнтропией замкнутой системы. Этот функционал рассматривался также в задачах продолжения [30]. Позже была найдена связь между этим функционалом и, так называемым, центральным регулятором [47,58,59,62]. Этот регулятор возникает как решение вспомогательной задачи оптимизации с квадратичным функционалом качества в Ноосубоптимальной задаче. Оказывается, среди множества всех субоптимальных Н^регуляторов именно центральный регулятор минимизирует функционал энтропии замкнутой системы Р по всем субоптимальным регуляторам, Ноонорма которых ограниченна сверху положительным параметром 7. Там же показано, что для фиксированного 7, индуцированное Ноо-нормой расстояние от центрального регулятора до оптимального Ноорегулятора минимально на множестве всех 7-субоптимальных регуляторов.

В главе 4 показано, что анизотропийный регулятор также минимизирует анизотропийную норму ПФ замкнутой системы для некоторого значения параметра 7, зависящую от уровня анизотропии, а ^ 0.

В главе 5 представлены результаты численного моделирования. В качестве объекта управления здесь рассматривается летательный аппарат (самолёт) на режиме посадки. Для линеаризованной модели этого объекта строится регулятор в соответствии с алгоритмом, полученным в главе 3, после чего производится моделирование первых 60 секунд полёта в указанном режиме.

Укажем вопросы, оставшиеся за рамками данной работы. Большим и актуальным на сегодняшний день направлением математической теории управления (как линейными, так и нелинейными системами) остается теория регуляторов, чувствительных к риску [68,69]. Поскольку критерии качества в этих задачах также основываются на теоретико-информационных соображениях, то есть основания полагать, что существует их связь с анизотропийными регуляторами. Поиск такой взаимосвязи может рассматриваться как дальнейшее развитие представленной работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов анализа робастной устойчивости линейных объектов, содержащих неопределенность в параметрах модели, а также методов синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем с параметрической интервальной неопределённостью.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Получены достаточные условия робастной устойчивости линейного объекта с неопределенностью с ограниченной анизотропийной нормой. Разработан алгоритм синтеза линейного ро-бастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям из заданного класса. Установлена взаимосвязь полученного регулятора с задачей синтеза классического Ноорегулятора.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами и позволяют осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, нежели широко использующиеся сегодня Ноооптимальные регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Достаточные условия робастной устойчивости линейного объекта с неопределённостью, ограниченной по анизотропийной норме.

2. Метод синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью.

3. Связь анизотропийного регулятора с Нжоптимальным регулятором.

4. Применение разработанного метода синтеза для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях сдвиговых возмущений ветра с ограниченной средней анизотропией.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 8-ом международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2004; на 2-ом международном IFAC симпозиуме «System, structure and control», Оаксака, Мексика, 2004; на 5-ой международной конференции «System Identification and Control Processes», ИПУ РАН, Москва, 2005; на 16-ом международном конгрессе IFAC, Прага, Чехия, 2005; на б-ой международной конференции «System Identification and Control Processes», ИПУ РАН, Москва, 2006; на 9-ом международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2006; на 7-ой международной научно-технической конференции «Process Control», Пардубице, Чехия, 2006; на 5-ом симпозиуме по робастному управлению «Robust Control Design», Франция, Тулуза, 2006.

Публикации. Основные результаты опубликованы в пяти статьях [16−19,21] и восьми тезисах докладов на конференциях [8,14,15, 48−52].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 118 страницах, содержит 2 таблицы и 23 иллюстрации. Библиография включает 73 наименования.

5.4. Выводы.

В главе представлено численное моделирование продольного движения летательного аппарата в условиях сдвиговых возмущений ветра. Траектория движения представляет собой прямую с постоянным углом наклона. Управление осуществляется анизотропийным регулятором с уровнем анизотропии, а = 0.03. Численное решение уравнений синтеза анизотропийного регулятора получено методом гомотопий. Сравнительный анализ показывает, что робастный анизотропийный регулятор является менее консервативным, нежели Ноосубоптимальный регулятор, построенный для той же системы.

Заключение

.

Данная диссертационная работа посвящена вопросам анализа устойчивости, а также вопросам синтеза регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с параметрической неопределенностью, функционирующих в присутствии внешних случайных возмущений, являющихся гауссовским «окрашенным» шумом. Учёт априорной информации о входном воздействии, состоящей в ограниченности сверху функционала средней анизотропии входного возмущения известным параметром позволяет получить регуляторы, которые являются более робастными по отношению к указанному воздействию, нежели Н.2 -регуляторы и менее консервативными, чемрегуляторы, что делает их весьма привлекательными для использования на практике вместо классических Нюрегуляторов.

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

Вторая глава посвящена анализу устойчивости линейных стационарных систем с частотной неопределённостью. Для таких систем получены достаточные условия робастной устойчивости в присутствии внешних возмущений с ограниченной средней анизотропией. Получены критерии робастной стабилизируемости для линейных стационарных систем.

В третьей главе разработан алгоритм синтеза робастных анизотро-пийных регуляторов для линейных систем с параметрической неопределенностью. Синтез регулятора сводится к решению системы нелинейных уравнений, состоящей из четырех уравнений Риккати-Лурье, одного уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида. Доказана разрешимость указанной системы в рамках стандартных допущений задачиоптимизации.

В четвёртой главе исследована связь анизотропийного регулятора с классическим Н^ -регулятором. Доказано, что анизотропийный регулятор минимизирует Нюэнтропию замкнутой системы для некотоporo известного значения параметра 7 > 0.

В пятой главе получен анизотропийный регулятор с заданным уровнем анизотропии, а = 0.03, обеспечивающий максимальное по энергетической норме подавление возмущений типа «сдвиг ветра», действующих на летательный аппарат на режиме посадки. Для синтеза регулятора был разработан численный алгоритм, основанный на методе гомотопий.