Асимптотика собственных и квазисобственных значений оператора Лапласа в некоторых областях

Диссертация посвящена проблеме построения коротковолновой асимптотики собственных функций и собственных значений задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерных и трехмерных областях. Предполагается, что граница области содержит два слабо изогнутых участка, мало отличающихся от плоских, параллельных между собой. При некоторых условиях в полости между этими участками (которые мы далее будем именовать зеркалами) могут сосредотачиваться одно или несколько взаимодействующих друг с другом колебаний типа «прыгающего мячика» [4,35^ с неперекрывающимися зонами осцилляций. Если рассматриваемая область представляет собой «открытый резонатор» (например, граница области вся состоит из двух зеркал, либо область достаточно быстро расширяется на бесконечности), то колебания, формирующиеся в полости резонатора, теряют энергию за счет излучения в окружающее пространство. Это обстоятельство приводит к сдвигу собственного числа в комплексную область. Интерес к таким собственным функциям и отвечающим им собственным значениям связан с развитием лазерной техники, техники СШ, резонаторов, волноводов и световодов.

Основной целью работы является получение асимптотики мнимых частей собственных чисел для ряда сформулированных ниже задач с неограниченными областями. Однако методы, применяемые в диссертации, дают новые результаты и в случае задач в ограниченной области. Если в области существуют взаимодействующие друг с другом колебания с совпадающими в квазиклассическом приближении частотами, то квантовые условия, полученные в диссертации, позволяют получить формулы для расщепления собственных значений.

Пусть — неограниченная область на плоскости с гладкой границей (открытый резонатор), функция Грина0(ххо-к) задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца есть по определению решение уравнения л =, у*.

А д*? + > х = (х*>' удовлетворяющее условию Дирихле *о> К)=0 при Хе^, условию Хо>*<)~*0 при 1 т К >0 на бесконечности (при |эс|—~Известно, что функция Грина такой задачи как функция параметра К допускает мероморфное продолжение из верхней полуплоскости на логарифмическую риманову поверхность, и все ее полюса Кп> располагаются вне замкнутой верхней полуплоскости. Бачеты Ы, Кп), соответствующие этим полюсам, в физической литературе называются «квазистационарными состояниями», а обратные величины к мнимым частям полюсов интерпретируются как «времена жизни» квазистационарных состояний (см. ?6,7,431). Квазистационарные состояния, или квазисобственные функции, как мы их будем называть, растут при Х—, удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца и условию Дирихле :

Л + К2) ¿-уС = О и «0., п IЪЯ.

В случае, если ??^ строго выпуклая область, В. М. Бабичем [з] было показано, что полюса функции Грина располагаются ниже некоторой параболы 1 т К =.

С (/?ек/3, С >о .

Если невыпукла и дя содержит фокусирующие участки, образуя при этом области «ловушечной конфигурации», то полюса могут подходить близко к вещественной оси.

Методы, применяемые в диссертации, позволяют исследовать именно такие асимптотически (при 1? еК—-630) близкие к вещественной оси полюса. Частота колебания, сосредоточенного в ограниченной области, характеризуется величиной К, она вычисляется по обычным квазиклассическим формулам, а потери данным колебанием энергии на излучение в бесконечную часть области определяются мнимой добавкой 1 т. при.

Яек—~ ж .

Вопрос о потерях на излучение в открытых резонаторах активно изучается в последние десятилетия, результаты исследований систематизированы в нескольких монографиях [21,30]. Основным инструментом исследования в этих работах служат интегральные уравнения, с помощью которых удалось получить оценки и правдоподобные формулы для излучения (см., например, [бо}). Существует и другой путь исследований, связанный непосредственно с рассмотрением приближенных решений уравнения Гельм-гольца. В работе ^38] В. Ф. Лазуткина был сформулирован геометрический подход, позволяющий исследовать дифракционные потери в открытых резонаторах. В соответствии с ним дифракционные потери являются результатом туннельного перехода ^25,43], просачивания поля наружу через потенциальные барьеры, в роли которых выступают особые «барьерные зоны», формирующиеся в полости резонатора. Для описания этих потерь необходимо изучать комплексные решения уравнения эйконала в области, где поле экспоненциально мало и имеет вид так называемых «исчезающих волн» во]. Если решение уравнения эйконала существует в достаточно широкой области за каустиками, ограничивающими зону осцилля-ций, то в некоторых случаях из геометрических соображений следует, что невещественные решения уравнения эйконала в области за каустиками не могут? существовать в неограниченной области, неизбежно возникает в силу геометрии области вторая пара каустик, ограничивающая область невещественного эйконала. В диссертации мы следуем этому второму пути. Фактически мы ищем приближенное решение задачи (0.1) в неограниченной области (см. рисунок), имеющее на бесконечности заданное асимптотиц! яг % I ®3.

I I I и!)/)т П I) и I// / /! / п I !) >) < / / /) п п/Т.

П (у-о) ческое поведение (удовлетворяющее условию излучения). При этом уравнение эйконала и уравнения переноса следующих порядков по частоте мы решаем путем разложения по малому параметру (0 < 6 <5-^1), характеризующему отклонение зеркал от плоских. Каустики, ^ = 1,2,3,4, не предполагаются заданными в условии задачи, они возникают в процессе решения уравнений главного по параметру К приближения и оказываются ортогональными к зеркалам, ограничивающим рассматриваемую область. В зоне 9) о собственные функции осциллируют как в направлении от зеркала Ц к зеркалу, так и в направлении от каустики % к каустике, в зонах и невещественного эйконала собственные функции осциллируют только в направлении от Г) к ?2, в зонах Юз и <�к/ц поле имеет в силу условий излучения вид волны, уходящей от каустик и Жу в бесконечность. Процесс возникновения потерь состоит, таким образом, в просачивании энергии из области Й) о через барьерные зоны и и последующем ее излучении через каустики. Физически этот процесс подобен туннельному переходу — потерям энергии одномерной квантовой частицы, запертой между двумя потенциальными барьерами ?7,25,43]. Используя эту физическую аналогию, можно получить формулы для «квазисобственного» числа К=к'-«-1 К11. Вещественная часть К1 характеризует собственные частоты колебаний типа „прыгающего мячика“ в замкнутом резонаторе, к» описывает потери энергии, возникающие за счет просачивания энергии через барьерные зоны и. Если эти барьерные зоны достаточно широки по сравнению с длинои волны, то К экспоненциально стремится к / нулю с ростом К .

Для сравнения и иллюстрации предлагаемого метода приведем здесь способ построения асимптотических разложений по малому параметру Рь для решений одномерного уравнения Шредин-гера.

0.2) в случае потенциала следующего вида:

Л7Р:) ос<(Е) эсг (Е) х3(£) 0СЧ (Е) % и предположим, что на бесконечности выполняются условия излучения ос.

2 ~ (в-У)* ех/>{* ^тсе-у/ б/*}.

Е — спектральный параметр. «Собственные» значения этой задачи — комплексные, Е = Ек^ = Екь + б Еп,, П- 0,1,2,., мнимая часть их определяет потери энергии, возникающие за счет просачивания энергии через барьерные зоны*#г (Е) <�Х< ^¿-(Е) 9×3{?)0С<�ЭСц (Е)ш Главный член разложений для решений уравнения (0.2) в связи с многочисленными физическими приложениями был получен в работах В. А. Фока [72,73], М. Й. Петрашень [55], Г. И. Макарова [4бД, Л. А. Вайнштейна [21], при этом ими был использован развитый В. А. Фоком метод эталонного уравнения. Вопрос о дальнейших членах разложения был связан главным образом с необходимостью получить поправочные члены к формулам квантования Бора. Эти поправки были найдены в работах М. В. Федорюка [б6−70|, В. П. Ма слова [46−49], В. С. Булдырева [12,15], С.Ю.Сла-вянова [59], Н. Фремена, Р. Фремена [79] и других авторов. Не имея здесь возможности полностью осветить данный вопрос, сошлемся на монографию М. В. Федорюка [71].

Одним из возможных способов получения асимптотик является метод эталонного уравнения [7б]. Если точки перехода (В) ,.

1,2,3,4 достаточно далеки друг от друга, то решение вдали от этих точек можно искать в виде комбинации экспонент, а в окрестности точек перехода — использовать функции Эйри. Если какие-либо из двух точек перехода близки, то для построения асимптотик можно применять функции Вебера. Сшивая асимптотические разложения и учитывая условия излучения, можно получить дисперсионное уравнение, из которого и определяются квазисобственные значения. В частности, в случае достаточно далеких друг от друга точек перехода и несимметричного потенциала оказывается, что г. ,, J, (У-Е^с/г где Е п, о определяется из условия квантования Бора:

0.4) г / 1/г ^ 4 г (Е", о) ' ' а.

Ецо) л г" = *. / Г V" .

0.5).

Могут быть выписаны формулы для дальнейших поправок к 1 т Е (см., например, ^631), можно исследовать квазиуровни на дне потенциальной ямы и вблизи вершины потенциального барьера, проследить переход формул друг в друга.

Применяемый в диссертации подход к исследованию задачи о потерях на излучение из открытого резонатора приводит к формулам, имеющим такой же понятный физический смысл, результаты согласуются с соответствующими результатами для одномерных задач. В связи с проблемой обоснования асимптотических формул для собственных функций и собственных значений при условии существования квазиклассического сосредоточенного колебания представляет интерес возможность получения бесконечного асимптотического разложения, формально удовлетворяющего уравнению Гельмгольца. Методы, разработанные в диссертации применительно к областям со слабо изогнутыми границами, позволяют построить такое разложение. Строгое же оправдание формул, характеризующих экспоненциально малые эффекты, наталкивается на непреодолимые пока трудности. Отметим в связи с этим, что строгое обоснование формул для расщепления спектра в одномерных задачах с симметричным потенциалом было проведено недавно (см. статью [х] А.Г.Аленицына). По этой причине в диссертации рассматривается указанный В. Ф. Лазуткиным и Д. Я. Терманом допускающий разделение переменных вариант задачи об экспоненциально малом расщеплении собственных значений оператора Лапласа для колебаний, сосредоточенных внутри эллипса (см. рис.5). Этот пример подтверждает возможность существования в областях определенной конфигурации физического механизма, обуславливающего эффекты, связанные с просачиванием энергии через образующиеся «барьерные» зоны.

Предлагаемые в диссертации приемы позволяют исследовать также резонаторы, на зеркалах которых поставлены условия Неймана или импедансные граничные условия, они могут оказаться полезными и в других вопросах.

Прежде, чем переходить к обзору содержания основной части работы, автор хочет выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В. Ф. Лазуткину за руководство и постоянное внимание к работе на всех этапах, через которые она проходила. Автор обязан В. Ф. Лазуткину также многими улучшениями и упрощениями в изложении. В первоначальном изложении материал диссертации был очень труден для чтения.

Автор благодарен В. С. Булдыреву и С. Ю. Славянову за ценные советы и консультации. Автор благодарит всех участников дифракционного семинара ЛОМИ за проявленный интерес к данной тематике и обсуждения.

Основной текст диссертации состоит из четырех глав. В первой главе, носящей вспомогательный характер, рассматривается вопрос о построении асимптотических разложений для решений уравнения Гельмгольца в двумерных областях со слабо изогнутыми границами, на которых поставлены условия Дирихле. Пусть граница области состоит из плоского зеркала Г} и зеркала П?, мало отличающегося от плоского, параллельного зеркалу Г? (см. рис. на стр. 8), так что между ними в области, ограниченной каустиками, возможны устойчивые колебания типа «прыгающего мячика». Если область достаточно широка по сравнению с длиной волны, то во внутренних точках области од0 квазиклассическое решение уравнения Гельмгольца мы ищем в виде чг^-7 г .г&trade-)-,.

4 = с&trade-, ех/э{ ¿-КБ } (о.б) т=4, (т) А (т). где (-ю — постоянные, ь = о — неизвестные функции, разлагающиеся в асимптотические ряды по степеням ЦК) :

Щ, Ст).

Функции Ьп, — вещественны, о0 удовлетворяет уравнению эйконала (= I. В окрестностях каустик выражение для I// содержит функции Эйри:^, СкФм ¿-ь.

Здесь Ат — постоянные,^&tradeи У/т — искомые функции, разлагающиеся в асимптотические ряды по степеням (ЧК), С А/] означает целую часть числа А^ , — линейно-независимые решения уравнения Эйри Если предположить, что решение уравнения Гельмгольца за пределами области.

I (гг-).

Яэо по-прежнему выражается формулой (0.6), то функции Ьп Э^с, т= I,.

2,3,4. В случае, если область^о или какая-либо из образующихся барьерных зон узкая по сравнению с длиной волны, то решение уравнения Гельмгольца в такой области мы представляем в виде комбинации функций параболического цилиндра, аналогичном (0.8). Подставляя указанные выражения в уравнение Гельмгольца и граничные условия на зеркалах Г) и Пг,, получаем набор рекуррентных краевых задач для определения коэффициентов искомых асимптотических рядов. Используя то, что исходная задача содержит малый параметр? , характеризующий отклонение зеркала 'г от плоского, параллельного зеркалу.

П, мы получаем формальное решение в виде рядов по степеням?. При удовлетворении граничным условиям на Г^ и возникает первое условие квантования. После построения в разных областях асимптотических формул для решений уравнения Гельмгольца стандартным образом осуществляется сшивание, из требования совпадения различных асимптотик для одного и того же решения уравнения Гельмгольца на границах областей — в окрестности разделяющих их каустик. При этом используются асимптотические формулы для функций Эйри и функций параболического цилиндра, учитывающие сохранение потока энергии при переходе точки поворота.

С использованием разработанной методики во второй главе получены асимптотические формулы, характеризующие потери энергии на излучение из открытого резонатора, образованного цилиндрическими слабо изогнутыми зеркалами. Условия излучения и условия сшивания асимптотических формул на каустиках приводят ко второму условию квантования. Вместе с первым условием квантования мы получаем систему уравнений, из которой определяются квазисобственные числа К= К1 + 1К1. рассмотрены три случая, связанные с шириной той или иной зоны света и тени, образующейся в исследуемом открытом резонаторе (см. § 9).

Третья глава посвящена выводу асимптотических формул для расщепления собственных значений оператора Лапласа в ограниченной двумерной области, при условии возникновения в ней собственных колебаний с неперекрывающимися зонами осцилля-ций, имеющих в квазиклассическом приближении двукратные собственные числа. Расщепление оказывается экспоненциально малым, если теневая барьерная зона, разделяющая области осцилляции, достаточно широка по сравнению с длиной волны (§ 16).

В четвертой главе рассмотрен вопрос о построении асимптотических разложений, для собственных функций и собственных значений задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в случае открытого резонатора, образованного в осесимметричными слабо изогнутыми зеркалами. При больших значениях волнового числа К и малых в исследованы сосредоточенные в полости между зеркалами собственные колебания резонатора, обладающие осевой симметрией, и в указанном приближении на формальном уровне строгости найдены асимптотические формулы для мнимых поправок к собственным частотам, отвечающим за излучение энергии в пространство. Отличительной особенностью рассматриваемого случая является то, что в окрестности оси симметрии резонатора решение выражается через функции Бесселя (см.§-21), в остальном различия между схемой вычислений в гл. П и 1У носят технический характер.

В диссертации применена сквозная нумерация параграфов. Формулы помечаются номером соответствующего параграфа и порядковым номером внутри параграфа.

Материал диссертации опубликован в работах [39−41, 63−65^.

Результаты диссертации докладывались на семинарах по общей физике, квантовой. механике и математической физике в ЛГУ им. А. А. Панова, на общегородском семинаре по дифракции и распространению волн в ЛОМИ АН СССР им. В. А. Стеклова. Работа £зэ] докладывалась на совместном заседании семинара им. И.Г.Петров-ского и Московского математического общества, работа [40] -на X Всесоюзной акустической конференции в Москве.

Заключение

.

В диссертации разработаны методы, пригодные для детального исследования высокочастотных колебаний в резонаторах, образованных цилиндрическими и осесимметричными слабо изогнутыми зеркалами. Получены явные асимптотические формулы, характеризующие потери на излучение из открытых резонаторов указанных типов, а также формулы для расщепления собственных значений замкнутого резонатора, в котором существуют два взаимодействующих друг с другом колебания с неперекрывающимися зонами осцилляции и совпадающими в квазиклассическом приближении частотами. Предлагаемые в работе приемы позволяют исследовать ряд других аналогичных вопросов теории резонаторов, они могут быть полезными при разработке эффективных вычислительных методов для расчетов резонаторов, применяемых в лазерной технике и технике СШ.