Исследование проблемы движения тел в ОТО методом Фока

Проблема движения масс — одна из тех наиболее известных классических проблем общей теории относительности (ОТО), которая находится в постоянном развитии и остается неизменно актуальной. Причина непреходящего интереса заключается, по-видимому, в том, что по мере ее развития открываются все новые и новые аспекты механики теории гравитации Эйнштейна (ТГЭ). Можно полагать, что у механики ТГЭ, являющейся одним из неотъемлемых разделов современной теоретической физики, так же, как и у механики теории гравитации Ньютона (ТГН), имеются перспективы существенного развития.

Главная задача в проблеме движения обычно сводится к выводу уравнений движения масс из уравнений гравитационного поля и их исследованию. Существует ряд известных методов получения уравнений движения масс из уравнений поля. Это — метод Эйнштейна-Инфельда-Гоффмана (метод EIH) [I], первый метод Фока 12], метод Инфельда [3] и второй метод Фока [4]. Методы EIH и Инфельда позволяют вывести уравнения движения точечных масс, тогда как методы Фока — уравнения движения протяженных масс (тел).

По мере развития проблемы движения сложились две крупные школы по выводу уравнений движения и их исследованию. Это — школа Эйнштейна и Инфельда, с одной стороны, и школа Фока — с другой. Основные результаты, полученные школой Эйнштейна и Инфельда, приведены в книге Инфельда и Плебаньского [31. Более поздние исследования отражены в монографии Рябушко [5 ]. Главные результаты школы Фока изложены в его книге [4 ]. В качестве примеров последующего развития исследований этой школы можно указать на работы Петровой [6, 7 ], Брумберга [81 и др. [9 — II] .

В целом в настоящее время существует механика ТГЭ, достигшая определенной степени зрелости и развивающаяся одновременно в двух направлениях. Первое — механика точечных масс ТГЭ, отправными пунктами которой являются идеи Эйнштейна и Инфельда, а второе — механика протяженных тел ТГЭ, основанная на идеях Фока.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена систематическому исследованию механики тел ТГЭ.

Актуальность темы

определяется тем фактом, что наше исследование относится к проблеме движения и тем особым положением, которое занимают методы Фока в этой проблеме.

Методы Фока, в отличие от методов EIH и Инфельда, позволяют учесть влияние внутренней структуры и формы тел на их движение. Особенно неоспоримы их преимущества при рассмотрении вопроса о собственном вращении тел в ТГЭ. Таким образом, методы Фока являются тем фундаментальным подходом, который позволяет выделить механику тел ТГЭ из уравнений гравитационного поля. Возможности этих методов далеко не исчерпаны и их дальнейшие применения должны привести к новым результатам в механике тел ТГЭ.

Цель диссертационной работы в общем плане — преодоление некоторых логических и конструктивных недостатков, присущих современной механике тел ТГЭ, а также исследование новых идей и направлений, способствующих ее дальнейшему прогрессу. В конкретном плане она заключается в последовательном изучении ряда актуальных проблем механики тел ТГЭ. К ним относятся: метрика первого приближения механики тел ТГЭ, новые методы исследования задач механики ТГЭ, оптико-механическая аналогия в механике тел ТГЭ, задача двух тел. с учетом их внутренней структуры и вращения, расхождения между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными тремя разными методами (первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельда), уравнения движения тел с зарядами и магнитными моментами и др.

Научная новизна диссертации состоит в следующем.

Оригинальной является постановка большинства перечисленных проблем. Например, сам факт расхождений между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученных разными методами, ранее был отмечен Рябушко [5], Брумбергом [8] и другими авторами. В нашей же работе этот факт ставится в качестве проблемы, решение которой получено в главе У.

Ряд новых результатов получен при рассмотрении самих проблем: установлена уточненная метрика первого приближения механики тел ТГЭ. Она объясняет большинство известных результатов в проблеме движения, а также позволяет получить и некоторые новые результатыпоказано, что некоторые релятивистские эффекты (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации электромагнитной волны и пр.) легче всего изучать с помощью методов дифференциальной геометрии. Это связано с тем, что известные формулы Френе в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой. Таким образом, можно говорить еще об одном методе исследования задач механики тел ТГЭполучена релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения. Она позволяет рассматривать новый круг вопросов механики тел ТГЭрешена задача двух тел с учетом внутренней структуры и собственного вращения. Благодаря совместному использованию векторных элементов, асимптотических методов нелинейной механики и метода адиабатических инвариантов найдены новые и удобные для исследования формы уравнений движения. Развита адиабатическая теория движения тел в механике ТГЭвнесена ясность в проблему о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельдавыведены релятивистские уравнения поступательного и вращательного движений системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения и т. д. (более полное перечисление полученных результатов дано в заключении).

В работе нашли применение некоторые новые идеи, оказавшиеся весьма эффективными в механике ТГЭ, Например: использование гидродинамической аналогии для объяснения собственного вращения пробного тела, движущегося в гравитационном поле вращающегося центрального телаотыскание оптико-механической аналогии, характерной для механики тел ТГЭразвитие адиабатической теории движения тел в ТГЭ и др.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 9 — 12, 15, 24, 26, 49, 56 — 58, 60 — 78 ] и докладывались на II — У1 Советских гравитационных конференциях (Тбилиси, 1965; Ереван, 1972; Минск, 1976; Москва, 1981; Москва, 1984), У Международной конференции по гравитации и теории относительности (Тбилиси, 1968), Всесоюзном симпозиуме «Проблемы движения тел в общей теории относительности» (Вильнюс, 1983).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Настоящая работа посвящена механике тел (протяженных масс) ТГЭ, начало которой было положено Фоком. В ней нашли дальнейшее развитие исследования Фока, Петровой, Рябушко и Брумберга по проблеме движения масс.

В работе поставлен и решен ряд новых проблем механики тел ТГЭ. Высказаны идеи и развиты методы, способствующие успешному решению рассматриваемых проблем. Дано изложение механики ТГЭ, свободное от некоторых логических и конструктивных недостатков существующих построений.

Ниже приведено более подробное перечисление полученных в работе результатов.

1. Найдена корректная метрика первого приближения механики тел ТГЭ (1.32), которая является отправным пунктом при построении механики тел ТГЭ. Метрика (1.32) квазистационарна, обладает надлежащей точностью, учитывает нелинейность поля, искривление трехмерного пространства, форму, внутреннюю структуру и собственное вращение тел.

2. Метрика (1.32) применена к ряду хорошо известных задач механики ТГЭ: задаче Шварцшильда, задаче Лензе-Тирринга и задаче Скроцкого. Показано, что метрика (1.32) приводит во всех этих случаях к правильным результатам.

При рассмотрении задач Шварцшильда и Лензе-Тирринга используются векторные элементы И и, А, а также асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Процесс усреднения уравнений движения упрощается путем применения нерелятивистских инвариантов.

-* -V.

3. Векторные элементы М и, А применены для описания ин-финитных задач механики ТГЭ. Показано, что в задаче о движении материальной частицы в поле вращающегося центрального тела уравнение для изменения вектора М (5.13) допускает полное интегрирование.

4. На основе метода Гамильтона-Якоби рассмотрена задача о движении материальной частицы в поле вращающегося центрального тела и проведено ее подробное исследование. Найден общий интеграл уравнений Гамильтона-Якоби, получен явный вид уравнений траектории и т. д. Предсказан эффект кручения траектории пробного тела.

5.Методы дифференциальной геометрии применены для определения кручения (угла кручения) траектории частицы, движущейся в поле вращающегося центрального тела. Интересно заметить, что формула (7.13) (для частицы) содержит как частный случай известную формулу для угла кручения светового луча (4.20), полученную Скроцким. Общее выражение (7.13) получено гораздо более простым путем, чем результат Скроцкого. Таким образом, показано наличие оптико-механической аналогии в эффекте кручения.

6. Высказана идея об использовании гидродинамической аналогии при исследовании вопроса о собственном вращении пробного тела, движущегося в гравитационном поле вращающегося тела. Установлено (см. § 8), что собственное вращение пробного тела определяется простой формулой Ц)= ^го! V .

7. Показано, что изучение многих релятивистских эффектов (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации плоской электромагнитной волны и др.) значительно упрощается при использовании методов дифференциальной геометрии. Это связано с тем, что известные формулы Френе в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой.

Такой подход позволяет обнаружить специфическую оптико-механическую аналогию, присущую только механике тел ТГЭ: вращение плоскости поляризации плоской электромагнитной волны во внешнем гравитационном поле можно рассматривать как предельный случай поступательно-вращательного движения пробного тела.

8. Метод адиабатических инвариантов применен к задаче о движении материальной частицы в гравитационном поле вращающегося центрального тела. Определены частоты движения.

9. Получена релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения.

I 2 «V* Я* с точностью? —г .

Приведены различные частные случаи этой функции и проведено ее сравнение с функциями Лагранжа, полученными Брумбер-гом и Рябушко.

10. Развита адиабатическая теория движения тел в механике ТГЭ, основанная на использовании векторных элементов для описания движения, асимптотических методов теории нелинейных колебаний и метода адиабатических инвариантов.

11. Рассмотрена задача двух тел с учетом их внутренней структуры и вращения.

С помощью адиабатической теории движения найдены простые формы уравнений движения (23.20), (23.21) и (27.17).

В этих уравнениях определяется соотношением (24.15), которое имеет фундаментальное значение.

12. Показано, что в задаче двух тел с учетом их внутренней структуры и вращения абсолютные значения векторов К и, А не остаются адиабатическими инвариантами. Таковой является величина.

М0, определяемая формулой (23.7). Что касается изменения на.

— V —V правлений VI и j[, то оно полностью описывается вектором —> si (23.16) с помощью простых формул (22.9).

13. Адиабатическая теория применена к исследованию вращательного движения в случае задачи двух тел с учетом внутренней структуры и вращения. Найдена форма уравнений вращательного дви жения (27.17), где Sl^ определяется соотношением (27.18).

14. Внесена необходимая ясность в вопрос о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельда.

Показано, что в вопросе о собственном вращении метод Фока приводит к более общим результатам, чем метод Инфельда.

15. Выведены релятивистские уравнения поступательного и вращательного движения системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения.