Решение строительной задачи методом линейного программирования

СОДЕРЖАНИЕ Введение

1. Средства механизации строительства

1.1 Устройства для приготовления растворов и смесей, и изготовление строительных конструкций

1.2 Транспортные средства

1.3 Погрузочно-разгрузочные устройства

2. Применение методов линейного программирования при решение строительных задач Выводы Список используемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

Подъем городского строительства на качественно новый уровень возможен за счет последовательного проведения курса на дальнейшую его индустриализацию, существенного сокращения ручного труда, совершенствования структуры и организации строительного производства, Одним из ведущих факторов в решении задач сокращения себестоимости и сроков строительства, повышения производительности труда и общей эффективности строительного производства является комплексная механизация строительно-монтажных работ. Широкому внедрению комплексной механизации и автоматизации в строительное производство способствует насыщение строительства необходимым количеством высокопроизводительных машин, освоение производства ряда новых типов машин, расширение технологических возможностей средств механизации и совершенствование организации их эффективного использования. В курсовой работе главной целью является оптимизация движения автобетоносмесителей на строительную площадку с минимализацией времени и средств при строительстве.

Объектом исследования курсовой работы является строительная площадка, на которой происходит возведение здания.

Предметом курсовой работы является решение транспортной задачи.

Для достижения поставленной цели в курсовой работе решались следующие задачи:

Расчет технических характеристик здания для поиска минимального комплекта машин для строительства.

Нахождение оптимального комплекта машин для решения поставленной цели.

Решение строительных задач для нахождения минимальных материальных потерь при строительстве, с помощью различных программных продуктов.

1. СРЕДСТВА МЕХАНИЗАЦИИ СТРОИТЕЛЬСТВА

1.1 Устройства для приготовления растворов и смесей, и изготовление строительных конструкций Бетонные и растворные смеси приготовляют путем механического перемешивания их компонентов в смесительных машинах — бетонои растворосмесителях. Качество смеси определяется точностью дозировки компонентов и равномерностью их распределения между собой по всему объему смеси. Для равномерного распределения компонентов смеси между собой в общем объеме замеса частицам материала сообщаются траектории движения с наибольшей возможностью их пересечения. Смешивание компонентов в однородную смесь является достаточно сложным технологическим процессом, который зависит от состава смеси, ее физико-механических свойств, времени смешивания и конструкции смешивающего устройства.

Технологический процесс приготовления смесей включает последовательно выполняемые операции: загрузку отдозированных компонентов (вяжущих, заполнителей и воды) в смесительную машину, перемешивание компонентов и выгрузку готовой смеси.

Автобетоносмесители применяют для приготовления бетонной смеси в пути следования от питающих отдозированными сухими компонентами специализированных установок к месту укладки, приготовления бетонной смеси непосредственно на строительном объекте, а также транспортирования готовой качественной смеси с побуждением ее при перевозке. Они представляют собой гравитационные реверсивные бетоносмесители с индивидуальным приводом, установленные на шасси грузовых автомобилей.

Главным параметром автобетоносмесителей является объем готового замеса (в м³). Технологическое оборудование отечественных автобетоносмесителей имеет одинаковую конструкцию и максимально унифицировано. Автобетоносмесители работают при температуре окружающего воздуха от -30 до +40°С.

Приготовление смеси в пути следования производят при дальности транспортировки не более 10… 15 км, при этом отдозированные компоненты в смесительный барабан загружают одновременно. При перевозках на большие расстояния в барабан загружают сначала сухие компоненты (цемент и заполнители), а подачу воды и приготовление смеси производят непосредственно на объекте. Заданная порция воды подается в смесительный барабан из дозировочно-промывочного бака центробежным насосом 1 (рисунок 1.1) через сопло в загрузочной воронке. Через то же сопло производится промывка барабана водой после разгрузки. Привод насоса осуществляется от двигателя 3 через карданный вал 4 и клиноременную передачу 2. При транспортировке готовой бетонной смеси во избежание ее расслаивания барабан вращается с пониженной частотой, непрерывно перемешивая смесь.

Рисунок 1.1

Техническая часовая производительность автобетоносмесителя (м³/ч) П_Т = 60VК_обK_вых/Т_ц

где V— вместимость барабана, м³;

К_об — коэффициент использования геометрического объема, представляющего отношение объема сухих составляющих, загружаемых в барабан, к геометрическому его объему;

K_вых — коэффициент, характеризующий выход смеси и определяемый отношением ее объема к объему сухих составляющих;

Т_ц — продолжительность цикла автобетоносмесителя, мин.

Т_ц = 60L (н_гр+ н_пор)/(н_гр н_пор) +t₃+ t_p+ t_п

где L — дальность перевозки смеси, км;

н_гр и н_пор — скорость движения автобетоносмесителя в груженом и порожнем состояниях, км/ч);

t₃ — продолжительность загрузки барабана сухими составляющими, мин;

t_p и t_п — продолжительность разгрузочных и промывочных операций, мин.

При перевозке автобетоносмесителем готовой бетонной смеси коэффициент K_вых принимают равным единице.

В последнее время стало очевидным, что монолитное строительство занимает всё большую нишу в строительных технологиях, поэтому сильно возрос спрос на различные виды монолитной строительной опалубки.

Съемная строительная опалубка комплектуется из универсальных модулей и составных частей — щитов, стоек и крепежа, которые выпускаются в соответствии с единым стандартом типоразмеров, что делает их адаптируемыми и взаимозаменяемыми. Тогда, в зависимости от решаемых задач, она может работать и как опалубка для перекрытий и фундамента, так и в качестве опалубки стен и колонн.

Подбирая необходимые составляющие компоненты конструкции, формируются современные универсальные опалубочные системы, предназначенные для возведения вертикальных, горизонтальных или наклонных элементов монолитных зданий, сооружений или устройства фундаментов. Если системы используются в качестве опалубки перекрытий, тогда к ним требуются дополнительное конструктивное усиление. Для этих целей применяются регулируемые выдвижные стойки опалубки, которые представляют из себя трубчатые конструкции, состоящие из неподвижного основания с домкратом и выдвижной части, а также балки или опорные туры, по верху которых раскладываются щиты для заливки бетоном перекрытий.

Рисунок 1.2

Стеновая опалубка, фундамента и колонн требует меньшего количества силовых элементов. Она состоит из модульных щитов, конфигурация которых может меняться в зависимости от поставленных задач, поэтому из них собираются панели любых размеров и форм. В комплекте также поставляются подкосы для установки основных щитов, навесные консольные подмости для бетонирования, а также замки и винтовые стяжки для соединения щитов, рассчитанные на большое давление бетонной смеси. Но, в любом случае, расчет опалубки, необходимых элементов и комплектующих, производится по специальной схеме или программе.

По конструкции и принципу действия бадьи бывают неповоротные (рисунок 1.3) и поворотные (рисунок 1.4).

Рисунок 1.3 — 1 — бункер; 2 — петля; 3 — опорная рама; 4 — затвор Рисунок 1.4 — а — с нижней выгрузкой; б — с боковой выгрузкой, 1 — корпус бадьи; 2 — затвор; 3 — ручной привод затвора; 4 — петля; 5 — лоток Неповоротные загружаются на бетонном заводе и у места бетонирования. В первом случае они доставляются на объект автомобилями, где краном подаются к бетонируемой конструкции и разгружаются. Во втором они загружаются из автобетоносмесителей, автобетоновозов или перегрузочных бункеров. Вместимость неповоротных бадей — 0,5−8 м³ Конструкция их одинакова, различаются они размерами и устройством затвора.

Наиболее распространенная форма бадей пирамидальная или коническая. Для оптимального использования бадьи и уменьшения её высоты, что важно при подаче краном, угол наклона стенок бадьи к горизонту делают как можно меньше. Однако малые углы наклона стенок затрудняют выгрузку смеси из бадьи, поэтому величина угла наклона имеет свою нижнюю границу. Для подвижной смеси угол наклона граней бальи к горизонту должен быть 60−70^о. При наличии вибрации этот угол может быть уменьшен до 45−50^о

При выгрузке смеси из бадей образуются своды, которых можно избежать при правильном выборе размеров выпускного отверстия. Для ускорения выгрузки смеси на корпусе бадьи устанавливается вибратор, включаемый при разгрузке.

Наименьший размер выпускного отверстия должен превышать наибольший размер крупного заполнителя в 8−10 раз. Если выпускное отверстие бадьи или бункера меньше, то для ликвидации сводов применяют вибраторы, устанавливаемые в местах образования сводов (30−40 см от выпускного отверстия). Внутренняя поверхность стенок бадьи и бункера должна быть гладкой и ровной, без выступающих частей, сварных швов и т. д.

На бадьях и бункерах для бетонной смеси применяются секторные и челюстные затворы, реже — клапанные. По сравнению с секторными и клапанными более удобны челюстные затворы, обеспечивающие быстрое и легкое открывание и закрывание.

Затворы с ручным приводом, рычажным или винтовым, со штурвалом. Привод снабжается стопорным устройством для предотвращения самооткрывания затвора. Секторные затворы — прямые и обратные — применяются как для нижней, так и для боковой выгрузки смеси; челюстные — только для нижней. Наиболее быстро изнашиваемые части челюстных затворов — кромки челюстей. Поэтому их изготавливают усиленными твердым сплавом, например, наплавкой электродами Т-620, увеличивающими в несколько раз износостойкость кромок.

Вместимость бадей принимается в зависимости от объема одного или двух замесов бетоносмесителя. При загрузке поворотная бадья заполняется на 0,65—0,7 своего объема, а неповоротная — на 0,8—0,85. Для бетонирования колонн, балок, прогонов, стен толщиной до 0,6 м и других каркасных конструкций следует применять бадьи вместимостью 0,5 м³. Для подачи бетонной смеси в средние и крупные фундаменты, подпорные стены, мощные каркасные конструкции и т. п. можно использовать бадьи вместимостью 1 м³ и более.

Для бетонирования вертикальных стен (например, резервуаров, зданий и сооружений, возводимых в скользящей опалубке, тонкостенных балок и ригелей и т. п.) целесообразно применять бадью с боковой выгрузкой.

Таблица 1.1

Таблица 1.2

1.2 Трансопртные средства Для транспортирования бетонной смеси на строительные объекты применяются автотранспортные средства четырех видов: автосамосвалы, автобетоносмесители. автобетоновозы и автобадьевозы.

Использование до последнего времени автомобилей-самосвалов для перевозки бетонной смеси приводит к значительным затратам ручного труда для ее дополнительною перемешивания после разгрузки и очистки кузова. Автомобили-самосвалы имеют ограниченную область применения. Ими можно перевозить бетонную смесь только по дорогам с асфальтовым покрытием и на расстояния до 25 км, а по другим видам дорог в радиусе не более 15 км.

Обычно для транспортирования бетонной смеси используются автомобили-самосвалы ЗИЛ-585, МАЗ-205. МАЗ-525 грузоподъемностью соответственно 2,5; 5 и 7 т. При отсутствии спецавтотранспорта временно допустимо применение автомобилей-самосвалов и на короткие расстояния, но только после ряда усовершенствований: наращивания бортов кузова на 400 мм, уплотнения мест примыкания заднего борта к кузову прокладками из листовой резины или конвейерной ленты (во избежание вытекания цементного молока).

Автобетоносмесители предназначены для доставки дозированных компонентов бетонной смеси, приготовления ее в пути следования или по прибытии на строительный объект, а также доставки готовой бетонной смеси и выдачи ее потребителю. Автобетоносмесители рассчитаны на работу в условиях умеренного климата. Они могут загружаться от специальных установок для выдачи сухих смесей, а также от передвижных и стационарных бетонных заводов, приспособленных для выдачи сухих смесей. В автобетоносмесителях можно перевозить смесь практически на неограниченные расстояния, однако наибольшая эффективность достигается при транспортировании на расстояние до 80 км.

Промышленностью выпускается три типа автобетоносмесителей СБ-92−1А, СБ-92В-1, СБ-159А. Принципиально они мало чем отличаются, различия существуют лишь в приводе смесительного барабана. В автобетоносмесителе СБ-159Л привод гидравлический с отбором мощности от двигателя, а в автобетоносмесителе СБ-92−1А вращение смесительного барабана осуществляется от редуктора через цепную передачу.

Автобетоносмеситель СБ-92−1Л (Рисунок 1.5) рассчитан на работу при температуре окружающей среды выше 0″ С. Загрузка его может осуществляться от специальных установок сухих компонентов бетонной смеси, а также от передвижных и стационарных бетонных заводов, приспособленных для выдачи сухих смесей.

Рисунок 1.5

Основные узлы автобетоносмесителя: шасси автомобиля, рама в сборе, смесительный барабан, загрузочно-разгрузочное устройство, бак для подачи воды, привод смесительного барабана и система управления приводом.

На раме под углом 15^о к горизонту устанавливается смесительный барабан на три опорные точки: на сферический подшипник в передней части передней стойки и на два опорных ролика на задней стойке, на которые опирается бандаж концевой части барабана. При движении автобетоносмесителя смесительный барабан фиксируется стопором, расположенным на задней стойке. Смесительный барабан снабжен двумя винтовыми лопастями, обеспечивающими перемещение бетонной смеси при вращении барабана по часовой стрелке и разгрузку при вращении в обратном направлении. Барабан имеет два люка: один аварийный, который крепится болтами; второй смотровой, закрепленный на двух петлях с помощью эксцентрикового прижима Привод смесительного барабана состоит из индивидуального двигателя внутреннего сгорания, муфты сцепления, карданного вала и реверсивного редуктора. Вращение смесительного барабана осуществляется от редуктора через цепную передачу. Частота вращения смесительного барабана при загрузке выбирается в зависимости от производительности питающей установки и составляет 9—14,5 мин^-1.

После загрузки смесительного барабана частота вращения двигателя уменьшается; перемешивание идет при частоте вращения смесителя 12 мин^-1, побуждение готовой бетонной смеси — 9 мин^-1.

Загрузочно-разгрузочное устройство состоит из загрузочного бункера, приемного и разгрузочного лотков, отклоняющего устройства. Приемный лоток охватывает выходное отверстие смесительного барабана и направляет бетонную смесь на разгрузочный лоток. Изменение угла наклона лотка осуществляют винтом. В передней части лотка имеется шарнир для складывания его в транспортное положение. Лоток может наращиваться дополнительным лотком, который крепится на крыле автобетоносмесителя.

Автобетоновоз (Рисунок 1.6) отличается от автомобиля-самосвала главным образом, устройством кузова, который выполнен в форме гондолы (мульды) с крутонаклоненной задней стенкой. Угол наклона к горизонту кузова достигает 80^о, а задней стенки — 48^о. Кузов расположен на шасси автомобиля в зоне минимальной вибрации рамы, благодаря чему обеспечивается сохранность перевозимой бетонной смеси от расслоения и разбрызгивания. Для предохранения смеси от воздействия атмосферных осадков и ветра кузов оборудован крышкой, а от воздействия отрицательных и положительных температур — двойной обшивкой с зазором между ее листами.

Рисунок 1.6

Автобетоновозы предназначены для перевозки готовых бетонных смесей без их побуждения в пути на расстояние до 45 км. Базовые автомобили для автобетоновозов ЗИЛ-ММЗ-553, МАЗ-500.

Автобетоновозы, автомобили-самосвалы и бадьевозы могут применяться для доставки частично затворенных бетонных смесей с их последующим приготовлением на строительных объектах.

Полуприцепы-панелевозы предназначены для перевозки в вертикальном или крутонаклонном положении стеновых панелей, перекрытий, перегородок, плит, лестничных маршей и т. п.

Передняя часть полуприцепов-панелевозов опирается на седельно-сцепное Устройство автотягача, а задняя — на одноили двухосную тележку со сдвоенными колесами. Тележки могут быть неповоротными (неуправляемыми) или поворотными (управляемыми), что улучшает маневренность автопоезда и позволяет использовать его в стесненных условиях застройки. Поворотное устройство выполнено с механическим канатным приводом и блокировочным устройством для удобства маневрирования.

Рисунок 1.7 — а — одноосный; б — двухосный; 1 — опорное устройство; 2 — одноосная тележка; 3 — несущий каркас; 4 — двухосная тележка Современные полуприцепы-панелевозы оборудуются раздельно управлявший гидравлическими опорами с гидроцилиндрами двойного действия, работающими от гидросистемы автомобиля, и имеют автоматическую сцепку с тягачом, что позволяет вести монтаж непосредственно с панелевоза (монтаж «с колес»), более эффективно использовать базовый автомобиль, который может обуживать несколько сменных полуприцепов (челночный метод работы) и осуществлять погрузку-разгрузку панелевоза на неровных площадках.

По конструкции несущего металлического каркаса полуприцепы-панелевозы разделяются на хребтовые, кассетные, платформенные и с наклонной рамой. Все они (за исключением платформенных) выполнены низкорамными.

Хребтовые панелевозы (Рисунок 1.7) имеют пространственный несущий каркас трапециевидного поперечного сечения, изготовленный из прокатных или гнутых профилей. Панели устанавливаются под углом 8…10° к вертикали на грузовые площадки с деревянным настилом, расположенные по бокам каркаса. Для крепления панелей используют винтовые зажимы, прижимные планки и канаты, затягиваемые с помощью ручной лебедки.

Преимуществом хребтовых панелевозов является малая погрузочная высота удобство проведения погрузочно-разгрузочных работ, недостатком — необходимость симметричной загрузки грузовых площадок.

Рисунок 1.8

Рисунок 1.9

Кассетные панелевозы (Рисунок 1.8) имеют две вертикальные боковые несущие фермы с поперечными связями, между которыми расположена грузовая площадка с деревянным настилом. Панели устанавливаются на грузовую площадку в вертикальном положении и удерживаются с помощью разделителей и боковых держателей. Кассетная форма кузова позволяет перевозить как четное, так и нечетное количество панелей. Кроме панелей кассетные панелевозы могут перевозить различные строительные грузы, по своим габаритам и массе не превышающие размеров грузовой площадки и грузоподъемности панелевоза. Основной недостаток кассетных панелевозов — большая погрузочная высота.

Полуприцепы-панелевозы платформенного типа (Рисунок 1.9) кроме перевозки строительных панелей могут использоваться как грузовые платформы для перевозки плит, балок, ригелей и других штучных грузов, не превышающих размеров платформы и грузоподъемности полуприцепа. Грузовые площадки панелевозов имеют деревянный настил и снабжены в передней части упором, предотвращающим грузы от смещения, а по бокам — выдвижными стойками.

1.3 Погрузочно-разгрузочные устройства и механизмы По назначению выделяют:

Краны общего назначения: для гражданского и промышленного строительства.

Специальные краны: для промышленного строительства.

Высотные краны: самоподъёмные, ползучие и приставные краны.

Краны-погрузчики: для складов, баз и полигонов. Возможность перемещения По возможности перемещения различают:

Передвижные: самоходные и прицепные.

Стационарные: приставные и универсальные.

Самоподъёмные: устанавливаются на каркасе строящегося здания.

Тип ходового устройства В качестве ходового устройства в передвижных башенных кранах применяют: автомобильные, пневмоколёсные, гусеничные, рельсовые, шагающие, шасси автомобильного типа.

По конструктивным особенностям, также выделяют две группы кранов: «классические» башенные краны (с оголовком башни) и безоголовочные. Кроме того, выпускаются быстромонтируемые башенные краны, сборка которых осуществляется в минимально короткие сроки, без верхолазных работ и вспомогательной техники.

Описание и конструкция Любой башенный кран состоит из следующих частей:

Башня, рабочая стрела, опорная часть, опорно-поворотное устройство, кабина управления.

Для выполнения основных операций, кран оснащается соответствующими механизмами: лебёдками, блоками и полиспастами. Башня крана общего назначения имеет либо телескопическую конструкцию, либо решётчатую, двух типов: поворотную и неповоротную. При большой высоте она может быть наращиваемой (сверху) и подращиваемой (снизу). В качестве основного грузозахватного органа применяется крюковая подвеска. Такие краны, в основной массе, изготавливаются в передвижном исполнении на рельсовом полотне, а их конструкция позволяет быстро осуществлять их монтаж и демонтаж и дальнейшую транспортировку на другой объект. Краны для высотного строительства выполняются в приставном исполнении.

Конструкция такого крана опирается на землю и на каркас возводимого здания (при помощи оттяжек). К кранам для высотного строительства относят также и самоподъёмные краны, иногда называемые ползучими. Кран этого типа устанавливается на конструкциях возводимого здания, а затем при помощи собственных механизмов периодически перемещается вертикально вверх (на один или несколько этажей) — по мере роста возводимого здания. В строящихся монолитных зданиях самоподъёмный кран опирается на специальные окна, предусмотренные в стенах лифтовых шахт. При возведении сборных железобетонных зданий, опорой для крана являются ячейки (металлического или железобетонного) каркаса здания. Подъём крана может осуществляться лебёдкой, расположенной у основания башни, либо специальным гидравлическим механизмом выдвижения. Достоинствами этого вида башенных кранов являются: возможность работы на косогорах и в стеснённых условиях, а также способность обеспечить строительство здания со сложной конфигурацией (в плане) одним краном. Одним из основных ограничений такого крана (по высоте) является канатоёмкость лебёдки, а главным недостатком — трудность демонтажа после завершения строительства.

Технические характеристики гусеничного крана ДЭК-401 (40 тонн).

Технические характеристики крана КБ-586

линейный оптимизация технический строительный

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ СТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ Линейное программирование — раздел математики о методах исследования и нахождения экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Методы линейного программирования могут применяться при решении различных проблем во всех сферах производства, в частности, в строительстве: анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия, разработка рациональных способов транспортирования грузов, расчет оптимальных строительных конструкций. Применимо к строительству, примером линейной функции могут служить: объемы поставок строительных материалов с различных заводов, время перевозки грузов или выполнения строительных работ, производственные ресурсы, способы производства, стоимость материалов и др.

Основным методом линейного программирования, позволяющим решать задачи, находя их оптимальное решение, является симплекс-метод. Он относится к числу наиболее распространенных вычислительных методов, реализующих идею последовательного улучшения решения.

Является универсальным, то есть может быть применен при решении любой задачи линейного программирования. Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г. и подробно развит в 1956 г. Данцигом, Фордом, Фулкерсоном.

Суть метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного решения осуществляется улучшение опорного плана методом Жордана-Гаусса. Для этого составляется математическая модель задачи, представляющая собой целевую функцию и систему ограничений и приведенная к каноническому виду, находится ее опорное решение, подлежащее проверке на оптимальность.

Значение целевой функции для задач на максимум не убывает.

Оптимальное решение получается через конечное число шагов.

F (x)=C₁x₁+C₂x₂+…+C_nx_n-целевая функция.

Система ограничений:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nх_n=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n = b₂ a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_n,

где С₁, С₂,…, С_n — условия работы комплекта машин, Д_j = ?С_ia_ij — C_j — оценка для переменныхx_j.

Допустимый план — совокупность чисел x₁, x₂,…, x_n, удовлетворяющая системе ограничений. Оптимальное решение — совокупность чисел x₁, x₂,…, x_n, которая приводит к максимуму или минимуму целевой функции.

Далее производится оптимизация составленного плана до того момента, пока все оценки Д_jне станут положительными, в случае, если целевую функцию необходимо привести к минимуму, и отрицательными в противном случае.

Рассмотрим применение симплекс-метода к решению следующей задачи.

Задача. На технологической линии формовочного цеха выпускается два вида плит перекрытия, А и В. На производство одной плиты, А расходуется а₁ кг песка, а₂ кг щебня и а₃ кг цемента. Суточное производство плит ограничено запасами сырья: c₁кг песка, с₂ кг щебня и с₃ кг цемента. Прибыль от реализации одной плиты, А составляет б у.е., одной плиты В — в у.е. Определите, сколько плит каждого вида следует выпускать в день, чтобы получить максимальную прибыль.

Решение Составим таблицу исходных данных:

Целевая функция имеет вид:

F (x) = 7x₁+4x₂ > max

при следующей системе ограничений:

57x₁+ 100x₂?720, 72x₁+ 210x₂?800, 89x₁+ 57x₂ ?1600.

Приведем систему к каноническому виду:

57x₁ + 100x₂ + х₃ = 720, 72x₁+ 210x₂+ х₄=800, 89x₁+ 57x₂ + х₅ =1600.

Составим симплекс-таблицу первого шага, заполнив все ее строки по данным системы ограничений и целевой функции.

Имеются отрицательные оценки (Д_j< 0), значит, план не оптимальный. Необходимо осуществить пересчет опорного плана методом Жордана-Гаусса. За разрешающий выбирают столбец с минимальной отрицательной оценкой. За разрешающую строку принимают ту, в которой отношение свободного члена к положительному коэффициенту минимально:

min {720/57, 800/72, 1600/89} = 800/72.

На пересечении разрешающей строки и разрешающего столба находится разрешающий элемент.

Разделим разрешающую строку на разрешающий элемент, произведем пересчет значений опорного плана. Вводим в базис переменную х₂ и выводим из базиса переменную х₃.

Составим симплекс-таблицу второго шага:

В полученном решении нет отрицательных оценок. Это значит, что составленный план является оптимальным.

F (11,11) = 55,556

Ответ: Для получения максимальной прибыли в день следует выпускать 11 плит вида А.

Проверив полученный результат с помощью компьютерной программы Simplex, убеждаемся в совпадении значений.

Одна из основных задач линейного программирования — транспортная задача. Она позволяет запланировать поставку груза от поставщика к потребителю, чтобы стоимость перевозок была минимальной. Эта задача может возникнуть также и при перевозке срочных грузов и вырождается в этом случае в задачу по критерию времени, в которой необходимо, чтобы запасы продукции были вывезены с предприятий в полном объеме, потребности потребителя были удовлетворены полностью при наименьшем времени доставки. Транспортные задачи подразделяются на открытые, где сумма запасов предприятий может полностью удовлетворить все потребности заказчика, и закрытые, где это соотношение не выполняется.

Транспортная задача может быть решена симплексным методом, однако наличие большого числа переменных и ограничений делает вычисления громоздкими. Поэтому для решения транспортных задач разработан специальный метод, имеющий те же этапы, что и симплексный метод, а именно:

1) нахождение опорного исходного решения,

2) проверка его на оптимальность,

3) переход от одного опорного решения к другому.

Для нахождения оптимальной стоимости перевозок составление плана транспортировки осуществляется методом минимальной стоимости.

Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если решение является оптимальным, то ему соответствует система m+nдействительных чисел u_iи v_j (потенциалов), удовлетворяющих условиям u_i+v_j= с_ij для занятых клеток и u_i+v_j-с_ij?0 для свободных клеток.

Если решение не оптимально, для уменьшения значения целевой функции надо перейти к другому опорному решению, перераспределив грузы, перемещая их из занятых клеток в свободные по циклу.

Транспортную задачу решим с помощью компьютерной программы «Оптимал 2».

Задача. Строительной организации на пять объектов B₁, B₂, B₃, B₄и B₅ежедневно требуется b₁=210, b₂=150, b₃=120, b₄₌135, b₅=135 м³ раствора соответственно. В данном регионе имеется три бетоносмесительных узла А₁, А₂, А₃, каждый из которых может предоставить строительной организации а₁=300, а₂=250, а₃=200 м³раствора. Стоимость доставки 1 м³ раствора с каждого бетоносмесительного узла на строительные объекты задана матрицей

D = /

Решение Примем некоторые обозначения:

i — индекс строки

j — индекс столбца

m — количество поставщиков

n — количество потребителей

X_{i, j} — перевозка между поставщиком A_i и потребителем B_j.

D_{i, j} — ограничение пропускной способности коммуникации между поставщиком A_i и потребителем B_j.

M — некоторое число, близкое к бесконечности

e — некоторое число, близкое к нулю.

Исходная таблица:

Транспортная задача имеет закрытый тип, так как суммарный запас груза равен суммарным потребностям.

Находим опорный план для задачи с ограничениями.

Введем некоторые обозначения:

A_i^* — излишек нераспределенного груза от поставщика A_i

B_j^* — недостача в поставке груза потребителю B_j

D_{i, j} — ограничение пропускной способности коммуникации между поставщиком A_i и потребителем B_j

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (3,4).

Помещаем туда меньшее из чисел A₃^*=200, B₄^*=135 и D_3,4=M

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (3,1).Помещаем туда меньшее из чисел A₃^*=65, B₁^*=210 и D_3,1 = M

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,1).

Помещаем туда меньшее из чисел A₁^*=300, B₁^*=145 и D_1,1 = M

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,2).

Помещаем туда меньшее из чисел A₂^*=250, B₂^*=150 и D_2,2 = M

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,5).

Помещаем туда меньшее из чисел A₁^*=155, B₅^*=135 и D_1,5=M

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (2,3).

Помещаем туда меньшее из чисел A₂^*=100, B₃^*=120 и D_2,3=M

Находим незанятую клетку с минимальным тарифом: (1,3).

Помещаем туда меньшее из чисел A₁^*=20, B₃^*=20 и D_1,3=M

Целевая функция F=3815.

Решаем задачу c ограничениями методом потенциалов:

Этап 1

Так как суммарная величина нераспределенного груза потребностей epsilon = 0, то текущий план является опорным планом транспортной задачи с ограничениями.

Этап 2

Полагая потенциал U₁=0, определяем остальные потенциалы из соотношения U_j+V_i=C_{i, j} (i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки.

Потенциалы U_i:

U₁ = 0

V₁= C_1,1-U₁ = 4

V₃ = C_1,3-U₁ = 13

V₅ = C_1,5-U₁= 7

U₃ = C_1,3-V₁= -1

U₂ = C_3,2-V₃= -2

V₂ = C_2,2-U₂= 6

V₄ = C_3,4-U₃= 2

Определяем значения оценок S_{i, j}=C_{i, j}-(V_j-U_i) для всех свободных клеток:

Для случая X_{i, j} = 0 условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом:

S_{i, j}>=0.

Для случая X_{i, j} = D_{i, j} условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом:

S_{i, j}< = 0.

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию:

_{i, j} = 0. S_1,2 = c_1,2 — (v₂ + u₁) = 2

S_1,4 = c_1,4 — (v₄ + u₁) = 0

S_2,1 = c_2,1 — (v₁ + u₂) = 7

S_2,4 = c_2,4 — (v₄ + u₂) = 9

S_2,5 = c_2,5 — (v₅ + u₂) = 12

S_3,2 = c_3,2 — (v₂ + u₃) = 11

S_3,3 = c_3,3 — (v₃ + u₃) = -2

S_3,5 = c_3,5 — (v₅ + u₃) = -2

Оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = D_{i, j} отсутствуют.

Если имеются неоптимальные оценки и для случая X_{i, j} = 0, и для случая X_{i, j} = D_{i, j}, то наиболее потенциальной (неоптимальной) из них считается максимальная по модулю оценка. Если имеется несколько клеток с одним и тем же наиболее неоптимальным значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее потенциальной является клетка (3,5). Для нее оценка равна -2.Строим для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус» .

Перемещаем по циклу груз величиной в 65 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус» .

В результате перемещения по циклу получим новый план:

Целевая функция F= 3685.

Значение целевой функции изменилось на 240 единиц по сравнению с предыдущим этапом.

Этап 3

Полагая потенциал U₁=0, определяем остальные потенциалы из соотношения U_j+V_i=C_{i, j}(i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки.

Потенциалы U_i:

U₁=0

V₁=C_1,1-U₁= 4

V₃=C_1,3-U₁= 13

V₅=C_1,5-U₁= 7

U₂=C_3,2-V₃= -2

U₃=C_5,3-V₅= -3

V₂=C_2,2-U₂= 6

V₄=C_3,4-U₃= 4

Определяем значения оценок S_{i, j}=C_{i, j}-(V_j-U_i) для всех свободных клеток:

Для случая X_{i, j} = 0 условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом: S_{i, j} >=0.

Для случая X_{i, j} = D_{i, j} условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом: S_{i, j} <=0.

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = 0

S_1,2 = c_1,2 — (v₂ + u₁) = 2

S_1,4 = c_1,4 — (v₄ + u₁) = -2

S_2,1 = c_2,1 — (v₁ + u₂) = 7

S_2,4 = c_2,4 — (v₄ + u₂) = 7

S_2,5 = c_2,5 — (v₅ + u₂) = 12

S_3,1 = c_3,1 — (v₁ + u₃) = 2

S_3,2 = c_3,2 — (v₂ + u₃) = 13

S_3,3 = c_3,3 — (v₃ + u₃) = 0

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = D_{i, j} отсутствуют Если имеются неоптимальные оценки и для случая X_{i, j} = 0, и для случая X_{i, j} = D_{i, j}, то наиболее потенциальной (неоптимальной) из них считается максимальная по модулю оценка. Если имеется несколько клеток с одним и тем же наиболее неоптимальным значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее потенциальной является клетка (1,4). Для нее оценка равна -2.

Строим для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус» .

Перемещаем по циклу груз величиной в 70 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус» .

В результате перемещения по циклу получим новый план:

Целевая функция F= 3545

Значение целевой функции изменилось на 140 единиц по сравнению с предыдущим этапом.

Этап 4

Полагая потенциал U₁=0, определяем остальные потенциалы из соотношения U_j+V_i=C_{i, j}(i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки.

Потенциалы U_i:

U₁ =0

V₁ = C_1,1-U₁ = 4

V₃ = C_1,3-U₁ = 13

V₄ = C_1,4-U₁ = 2

U₂ = C_3,2-V₃ = -2

U₃ = C_4,3-V₄ = -1

V₂ = C_2,2-U₂ = 6

V₅ = C_3,5-U₃ = 5

Определяем значения оценок S_{i, j}=C_{i, j}-(V_j-U_i) для всех свободных клеток:

Для случая X_{i, j} = 0 условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом: S_{i, j} >=0.

Для случая X_{i, j} = D_{i, j} условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом: S_{i, j} <=0.

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = 0

S_1,2 = c_1,2 — (v₂ + u₁) = 2

S_1,5 = c_1,5 — (v₅ + u₁) = 2

S_2,1 = c_2,1 — (v₁ + u₂) = 7

S_2,4 = c_2,4 — (v₄ + u₂) = 9

S_2,5 = c_2,5 — (v₅ + u₂) = 14

S_3,1 = c_3,1 — (v₁ + u₃) = 0

S_3,2 = c_3,2 — (v₂ + u₃) = 11

S_3,3 = c_3,3 — (v₃ + u₃) = -2

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = D_{i, j} отсутствуют Если имеются неоптимальные оценки и для случая X_{i, j} = 0, и для случая X_{i, j} = D_{i, j}, то наиболее потенциальной (неоптимальной) из них считается максимальная по модулю оценка. Если имеется несколько клеток с одним и тем же наиболее неоптимальным значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее потенциальной является клетка (3,3). Для нее оценка равна -2.

Строим для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус» .

Перемещаем по циклу груз величиной в 20 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус» .

В результате перемещения по циклу получим новый план:

Целевая функция F= 3505

Значение целевой функции изменилось на 40 единиц по сравнению с предыдущим этапом.

Этап 5

Полагая потенциал U₁=0, определяем остальные потенциалы из соотношения U_j+V_i=C_{i, j}(i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки.

Потенциалы U_i:

U₁ = 0

V₁ = C_1,1-U₁ = 4

V₄ = C_1,4-U₁ = 2

U₃ = C_4,3-V₄ = -1

V₃ = C_3,3-U₃ = 11

V₅ = C_3,5-U₃ = 5

U₂ = C_3,2-V₃ = 0

V₂ = C_2,2-U₂ = 4

Определяем значения оценок S_{i, j}=C_{i, j}-(V_j-U_i) для всех свободных клеток:

Для случая X_{i, j} = 0 условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом: S_{i, j} >=0

Для случая X_{i, j} = D_{i, j} условие оптимальности оценки S_{i, j} определяется следующим образом: S_{i, j} <=0

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = 0

S_1,2 = c_1,2 — (v₂ + u₁) = 4

S_1,3 = c_1,3 — (v₃ + u₁) = 2

S_1,5 = c_1,5 — (v₅ + u₁) = 2

S_2,1 = c_2,1 — (v₁ + u₂) = 5

S_2,4 = c_2,4 — (v₄ + u₂) = 7

S_2,5 = c_2,5 — (v₅ + u₂) = 12

S_3,1 = c_3,1 — (v₁ + u₃) = 0

S_3,2 = c_3,2 — (v₂ + u₃) = 13

оценки S_{i, j} для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_{i, j} = D_{i, j} отсутствуют Так как все условия оптимальности выполнены, то полученный план является оптимальным.

Транспортная задача решена

Целевая функция F= 3505

Методы линейного программирования позволяют также решить такие важные для строительства и производства задачи, как комплектование машин в условиях полной, неполной и неполной с ограничениями определенностей о среде, расчет минимального риска, максимизация прибыли и минимизация затрат.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. С. С. Добронравов, В. Г. Дронов «Строительные машины и основы автоматизации» — М. Высшая школа, 2001 — 576 (стр. 344)

2. Б. Ф. Белецкий, И. Г. Булгакова «Строительные машины и оборудование» — Ростов-на-Дону. Феникс, 2005;608

3. С. С. Добронравов, В. Г. Дронов «Строительные машины и основы автоматизации» — М. Высшая школа, 2001 — 576 (стр. 344)

4. Б. Ф. Белецкий, И. Г. Булгакова «Строительные машины и оборудование» — Ростов-на-Дону. Феникс, 2005;608 (стр373)

5. Б. Ф. Белецкий, И. Г. Булгакова «Строительные машины и оборудование» — Ростов-на-Дону. Феникс, 2005;608 (стр373)

6. Б. Ф. Белецкий, И. Г. Булгакова «Строительные машины и оборудование» — Ростов-на-Дону. Феникс, 2005;608 (стр374)

7. Б. Ф. Белецкий, И. Г. Булгакова «Строительные машины и оборудование» — Ростов-на-Дону. Феникс, 2005;608 (стр375)

8. Б. Ф. Белецкий, И. Г. Булгакова «Строительные машины и оборудование» — Ростов-на-Дону. Феникс, 2005;608 (стр348)