Экономическое моделирование в банковской сфере
В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням… Читать ещё >
Экономическое моделирование в банковской сфере (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Задание 1
В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).
t | |||||||||||||||||
Y (t) | |||||||||||||||||
Требуется:
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания б1 = 0,3; б2 = 0,6; б3 = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т. е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1. Для оценки начальных значений, а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1
t | Y (t) | t-tср | (t-tср) 2 | Y-Yср | (Y-Yср) х (t-tср) | |
— 4 | — 9 | |||||
— 3 | — 4 | |||||
— 2 | — 17 | |||||
— 1 | — 11 | |||||
— 7 | — 4 | |||||
— 9 | — 33 | |||||
Произведем расчет:
Получим линейное уравнение вида:
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели
t | Y (t) | Yp (t) | |
49,42 | |||
50,26 | |||
51,11 | |||
51,95 | |||
52,80 | |||
53,64 | |||
54,49 | |||
55,33 | |||
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.
Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное, и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .
Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:
Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса
t | Y (t) | a (t) | b (t) | F (t) | Yp (t) | Абс. погр., E (t) | Отн. погр., в% | |
48,57 | 0,85 | 0,8612 | ; | ; | ||||
49,57 | 0,89 | 0,8650 | 42,56 | 0,44 | 1,03 | |||
50,35 | 0,86 | 1,0746 | 54,39 | — 0,39 | 0,72 | |||
50,88 | 0,76 | 1,2658 | 65,43 | — 1,43 | 2,24 | |||
51,85 | 0,82 | 0,7877 | 40,44 | 0,56 | 1,37 | |||
52,48 | 0,76 | 0,8605 | 45,56 | — 0,56 | 1,24 | |||
53,46 | 0,83 | 1,0807 | 57,21 | 0,79 | 1,36 | |||
54,83 | 0,99 | 1,2833 | 68,73 | 2,27 | 3, 20 | |||
55,45 | 0,88 | 0,7803 | 43,97 | — 0,97 | 2,26 | |||
56,52 | 0,94 | 0,8644 | 48,47 | 0,53 | 1,07 | |||
57,43 | 0,93 | 1,0801 | 62,09 | — 0,09 | 0,15 | |||
58,15 | 0,87 | 1,2769 | 74,89 | — 0,89 | 1, 20 | |||
58,61 | 0,74 | 0,7728 | 46,05 | — 1,05 | 2,34 | |||
60,29 | 1,03 | 0,8832 | 51,31 | 2,69 | 4,99 | |||
61,25 | 1,01 | 1,0785 | 66,23 | — 0,23 | 0,34 | |||
62,14 | 0,97 | 1,2735 | 79,50 | — 0,50 | 0,63 | |||
62,81 | 0,88 | 0,7676 | 48,77 | — 0,77 | 1,61 | |||
25,75 | ||||||||
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.
Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
t | E (t) | Точка поворота | E (t) 2 | [E (t) — E (t-1)] 2 | E (t) xE (t-1) | |
0,44 | ; | 0, 194 | ; | ; | ||
— 0,39 | 0,150 | 0,69 | — 0,17 | |||
— 1,43 | 2,05 | 1,09 | 0,55 | |||
0,56 | 0,32 | 3,98 | — 0,81 | |||
— 0,56 | 0,31 | 1,26 | — 0,32 | |||
0,79 | 0,62 | 1,81 | — 0,44 | |||
2,27 | 5,17 | 2,21 | 1,79 | |||
— 0,97 | 0,95 | 10,54 | — 2,21 | |||
0,53 | 0,28 | 2,24 | — 0,51 | |||
— 0,09 | 0,01 | 0,38 | — 0,05 | |||
— 0,89 | 0,78 | 0,63 | 0,08 | |||
— 1,05 | 1,11 | 0,03 | 0,93 | |||
2,69 | 7,26 | 14,03 | — 2,83 | |||
— 0,23 | 0,05 | 8,52 | — 0,61 | |||
— 0,50 | 0,25 | 0,07 | 0,11 | |||
— 0,77 | ; | 0,60 | 0,08 | 0,38 | ||
Сумма | 0,41 | 8,00 | 20,09 | 47,57 | — 4,09 | |
2. Проверка точности модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.
3. Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2 табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.
Рассчитаем значение :
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.
Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е (t) являются независимыми.
2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,20 < rтабл. = 0,32 — значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:
где — максимальное значение уровней ряда остатков ;
— минимальное значение уровней ряда остатков ;
S — среднее квадратическое отклонение.
Emax — Emin = 2,69 — (-1,43) = 4,13
Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т. к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp (t) на год.
4. Расчет прогнозных значений экономического показателя.
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл.1.4) по формуле:
где k — период упреждения;
— расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
— коэффициенты модели;
— значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
— период сезонности.
Определим прогнозные значения экономического показателя Yp (t) для: t = 17, 18,19 и 20.
5. На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.
Дни | Цены | |||
макс. | мин. | закр. | ||
Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R,% К,% D;
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение:
Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:
,
где k = 2/ (n + 1),
- цена закрытия t-го дня;
— значение EMA текущего дня t.
Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :
где — цена закрытия t-го дня.
— значение МОМ текущего дня t.
Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:
,
где — цена закрытия t-го дня.
— значение ROC текущего дня t.
Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен
Дни | Цены закр | ЕМАt | МОМt | ROCt | |
804,00 | ; | ; | |||
819,00 | ; | ; | |||
814,67 | ; | ; | |||
796,44 | ; | ; | |||
785,30 | ; | ; | |||
788,53 | — 9,0 | 98,88 | |||
792,35 | — 49,0 | 94,23 | |||
812,57 | 47,0 | 105,83 | |||
815,05 | 60,0 | 107,89 | |||
795,36 | — 7,0 | 99,08 | |||
Для расчета индекса относительной силы используем формулу:
где AU — сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD — сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Таблица 2. Результаты расчета индекса относительной силы
Дни | Цены закрытия | Изменение (+/-) | RSI | |
; | ||||
— 43 | ; | |||
— 46 | ; | |||
; | ||||
; | ||||
47,3 | ||||
31,0 | ||||
— 33 | 66,9 | |||
— 64 | 73,8 | |||
48,1 | ||||
Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:
где — значение индекса текущего дня t;
- цена закрытия t-го дня;
L5 и Н5 — минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.
где — значение индекса текущего дня t;
- цена закрытия t-го дня;
L5 и Н5 — минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.
Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Таблица 3. Результаты расчетов %R, %К, %D
Дни | Цены | % Kt | % Rt | %Dt | |||
макс | мин | закр | |||||
; | ; | ||||||
; | ; | ; | |||||
; | ; | ; | |||||
; | ; | ; | |||||
16,41 | 83,59 | ; | |||||
41,41 | 58,59 | ; | |||||
45,31 | 54,69 | 34,38 | |||||
99,11 | 0,89 | 60,33 | |||||
58,65 | 41,35 | 66,22 | |||||
8,46 | 91,54 | 53,33 | |||||
Задание 3
3.1 Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых. Найти:
3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
3.1 1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000×0,55×73/365 = 550 000,00 руб.
3.1 2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000×0,55×73/360 = 557 638,89 руб.
3.1 3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000×0,55×74/360 = 565 277,78 руб.
3.2 Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.
Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).
Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
P = S / (1 + ni) = 5 000 000/ (1 + 0,55×90/360) = 4 395 604,40 руб.
D = S — P = 5 000 000 — 3 395 604,40 = 604 395,60 руб.
3.3 Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
D = Snd = 5 000 000×0,55×90/360 = 687 500,00 руб.
P = S — D = 5 000 000 — 687 500,00= 4 312 500,00 руб.
3.4 В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
S = P x (1+i) n = 5 000 000 х (1+0,55) 5 = 44 733 048,44 руб.
3.5 Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
N = 5×4 = 20
S = P x (1+j / m) N = 5 000 000 х (1 + 0,55/4) 20 = 65 765 497,67 руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.
Решение:
iэ = (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,55/4) 4 — 1 = 0,6742, т. е.67,42%.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.
Решение:
j = m x [ (1 + iэ) 1/m — 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (¼) — 1] = 0,46 316, т. е.46,316%.
3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55% годовых.
Решение:
руб.
3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.
Решение:
P = S (1 — dсл) n = 5 000 000 x (1 — 0,55) 5 = 92 264,06 руб.
D = S — P = 5 000 000 — 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.
3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
руб.